Reprise du message précédent :

Soit p un entier premier supérieur ou égal à 3
Montrer que -1 est un carré dans Z/pZ si et seulement si p est congru à 1 modulo 4
En déduire qu'il y a une infinité de nombre premiers congru à 1 modulo 4

Ca c'est pas faisable en PSI...

non, sauf si vous avez vu les ordres et que Z/pZ est un corps en sup
(c'est mon indice)

Je ne sais pas ce qu'est Z/pZ

 
C'est pompeusement Z quotienté par la relation d'équivalence de congruence modulo p.  De manière plus compréhensible c'est l'ensemble des congruences modulo p, qui est alors un groupe pour l'addition et un corps si p est premier.

OK, merci

Parceque pour lui c'est plus simple de voir Z/nZ comme l'ensemble des congruences modulo n

moi je suis d'accord que c'est pompeux, mais cette notation a pour but de "départiculariser" ce quotientage, stou
une indication pour mon exo qui semble n'avoir que peu de succès
 

Moi j'avoue que j'ai pas cherché je regarde roland garros là et je glande, je suis pris dans le piège de l'attente des résultats centrale   , chose absurde que je vais arrêter à l'instant. (:D)

Un petit que je viens de voir dans un bouquin:
 
On définit la suite u(n) comma la solution de x + ln x =n  
 
Montrer que u(n) existe.
Developpement asymptotique de u(n)

Alez un autre (toujours dans les faciles), a l'approche des resultats de centrale j'ai décidé d'êter sympa :
 
L'ensemble des matrices diagonalisables est-il dense dans Mn(IC) ? Dans Mn(IR) ?

Exactement le genre d'exo de merde que je sais même pas faire, car je n'ai qu'une vague idée de la notion de densité

 
Je suis un modèle a suivre

En langage plus compréhensible, ton exo demande de montrer que toute matrice de Mn(C) / Mn(R) est limite d'une suite de matrices diagonalisables ?
C'est ça?
yas d'autres définitions ou caractérisations que je devrais connaitre ?

 
Pour les matrices, c'est la seule caracterisation niveau taupe il me semble.

Ok, je suis peut être pas autant à l'ouest que je ne pensais sur ce truc de densité
Pour autre chose que des matrices, c'est quoi les autres caractérisations?

l'exo demande SI toute matrice de Mn(IC) / Mn(IR) est limite d'une suite de matrices diagonalisables a priori c'est la caractérisation qu'il faut utiliser.

tu peux avoir une caractérisation topologique dans un espace métrique, en disant que A est dense dans B ssi toute boule ouverte de A rencontre B. ou alors t'as la caractérisation bête, en sup, quand tu dis que IQ est dense dans IR <=> entre deux réels il existe toujours un rationnel.

 
est-ce qu'il n'y a pas un problème de bases de diagonalisation.....Car même si les Mn sont diagonalisables, elles ne le sont pas forcément dans la même base....Non?

bien sûr, mais sinon la question n'aurait aucun intérêt, l'ensemble des matrices diagonales n'est clairement pas dense

j'ai vu une preuve sur le net pour le cas complexe ils décomposent les valeurs propres en sous-groupes de valeurs propres distinctes.....C'est quand même plus simple de prouver la densité de GLn ou O2........

 
Tant qu'elles sont diagolanisables...

si elles commutent et sont symétriques il existe une base commune de diagonalisation çà c'est sur.....

enfin la preuve je l'ai dfonnée au dessus

Centrale PSI 2007.
 
on considère E=Mn(IR)et  P une matrice de E inversible.
 
Soit phi := M -> P^(-1) * M * P.
 
Question,calculer trace et déterminant de phi...

o

 
?

 
C'est une plaisanterie?

 
 
Non, je demande la trace de l'endomorphisme PHI, et non la trace de la matrice phi(M)...

quelle est la différence entre la trace d'un endomorphisme et celle de sa matrice dans une base donnée?
 
Comme c'est un automorphisme de L(E) dans L(E) la trace sera la même que celle de f ( trace de l'endomorphisme associée à M dans une base B donnée)

il n'y en a aucune. la trace d'une matrice est invariante par changement de base, donc c'est bien la preuve que la trace est un truc caractéristique de l'endomorphisme et pas uniquement de la matrice.

je sais mais çà me semble bizarre qu'on pose une question comme çà à un roal de centrale, a moins qu'on veuille faire jouer les formes linéaires etc....