Reprise du message précédent :
Il faudrait qu'une personne serviable nous sorte un joli dessin...Ce serait plus clair...

Pour revenir au problème initial : la Terre percée d'un petit tunnel en son centre.
 
En première approximation, si l'on considère le tunnel comme étant parfait et infiniment long, le théorème de Gauss ou un raisonnement similaire à celui que j'ai fait plus haut pour la cavité sphérique nous montre que le champ de gravitation à l'intérieur du tunnel est nul.
 
Maintenant, dans le cas réel, avec un tunnel fini, on ne peut que dire que le champ au centre de la Terre sera très faible, zero au premier ordre.
 
Cependant, je ne vois a priori aucun argument simple permettant d'affirmer que le centre est point d'équilibre stable.
 

Bon, vite fait avec paint (rigolez pas je ne suis pas un pro du dessin à la souris   )
 

 
Donc l'astronaute est en vert. Et l'attraction par la partie du haut en rouge est compensée par celle du bas de la même couleur.
Ainsi, si l'astronaute se rapproche de la paroi en haut, la zone rouge du haut serait réduite, mais celle du bas augmentée, ce qui compenserait la différence de distances.

Si la boule était isolée de toute attraction extérieure, elle tendrait surement à se stabiliser lentement au centre ; à cause du tunnel, qui empèche une gravité zéro verticalement, comme c'est le cas horizontalement.
Ceci dit, on peut penser que la boule suivrait en pratique les mouvement de la lune... un peu comme les marées. Horizontalement c'est certain, mais verticalement, ca dépend de l'intensité de la gravité causée par le tunnel.  

 
Bah on pourrait pas dire que lorsque tu es au centre de la sphère, il existe pour tout point autour du centre un autre point diamétralement opposé, situé à la même distance du centre et exerçant une force gravité de même intensité mais dans la direction opposée, donc équilibre.
   

Pour le dessin, impecable.
 
 

 
 
Ce n'est pas tout à fait la bonne question. Ce que tu dis est vrai, et effectivement le centre est point d'équilibre. Mais l'interogation porte sur sa stabilité : stable ou instable ?

 
Je dirai que çà dépend de la forme de l'objet placé au milieu.
Si c'est un polyèdre non régulier il bougera, tournera.
Si c'est une sphère, ou un dodécaèdre, il sera immobile ou presque.
Peut être une très légère rotation sur lui même, provoquée par la rotation de la terre.
   

Non la stabilité ne dépend pas de l'objet, c'est une propriété du centre, indépendante. Faudrait peut-être expliquer plus en détail ce qu'on entend par stabilité mais là j'ai pas trop le temps...

non , dans le tunnel le champ n'est pas nul (sauf au centre) .
Ce n'est plus le meme probleme que l'asteroide car la terre est percee de part en part et seulement dans le tunnel , si le gars se trouve a une profondeur h , on peut imaginer qu'il se trouve SUR une sphere de rayon R-h qui exerce une gravité proportionnelle a sa masse .
Pour l'asteroide creux , il n'y a rien a l'interieur .

Ah ok , vu comme ça je comprend mieux .
Mais je me demande si on peut appliquer ce raisonnement car ton dS n'est plus infinitesimal

Stable si placé sans vitesse initiale et isolé de l'exterieur (c'est comme un ressort a l'equilibre)

Equilibre stable à la position d'équilibre.  
 
En pinaillant, équilibre indifférent en tout point de la sphère ayant  

• pour centre le centre de la Terre et  
• pour rayon le diamètre du tunnel  

puisque le champ gravitationnel y sera nul.

Mais non! le champ gravtitationnel a l'interieur du tunnel n'est pas nul (excepté au centre de la terre ).
Il est directement proportionnel a la profondeur .
Le truc c'est que toute la matiere "au dessus" du niveau de profondeur n'agit pas sur l'objet dans le tunnel ( phenomene de compensation comme dans le cas de l'asteroide creux ) . Seul agit sur l'objet la matiere " au dessous" ( qui depend donc de la profondeur, masse M = 4/3 * pi* (R-h)(R-h)*(R-h) * masse volumique) et le champ est : G* M/ (R-h)*(R-h)
 
 
Sinon dans le cas de l'asteroide creux , effectivement le truc des "cones" marche parfaitement , tout se compense a la perfection , bravo!
 

J'ai dit : dans un tunnel idéal, infini, le champ est nul.
 
Maintenant, dans le cas considéré, on est pas dans l'idéalité : effectivement, il faut tenir compte du fait que la masse entourant le tunnel diminue avec l'éloignement au centre, et de plus il est fini. Cependant, il va rester proche de zéro, dans une zone raisonablement proche du centre. On parle d'apprximaiton au premier ordre.
 
Mais encore une fois, cela ne nous indique rien sur la stabilité du centre comme point d'équilibre.

Un tunnel est toujours a l'interieur de quelque chose qui l'entoure , alors je crois pas que le champ de gravitation puisse etre nul .
Quand il est creuse dans une sphere et passe par son centre on a exactement la meme equation que celle d'un ressort sur un plan horizontale et sans frotement . Si bien que un objet place au centre de la sphere se trouve dans les memes conditions qu'un ressort a l'equilibre (sans etirement)
 
dans un asteroide creux ,par contre, le champ de gravitation est nul car les contributions de la masse extérieure se compensent .

Bah dans une situation parfaite, il devrait y avoir équilibre.
 
Dans l'exemple de la terre, il y a des imperfections.
Attraction lunaire
attraction solaire
rotation de la terre
non sphérité de la terre
non homogénéïté de la matière (il peut très bien avoir des différences de densité donc de gravité sur des parties de la planète)
..
 
Autant de perturbations qui doivent d'après moi provoquer une oscillation de l'objet.

Bon je reprend encore une fois car visiblement je ne m'exprime pas clairement :
 
Dans un tube, idéal, infini, de diamètres internes et externes constants, le champ est nul.
 
On peut le démontrer par Gauss ou le même genre de raisonnement que dans la sphère.
 
On est d'accord que en ce qui concerne la Terre, on n'est pas dans ce cas. C'est au mieux un approximation au premier ordre.
 
Tu dis que le centre est point d'équilibre stable : est-ce que tu pourrais le justifier rigoureusement s'il te plait ?

 
Alors là, absolument............................pas    
 
Je suis un mauvais dès qu'il faut aligner des symboles abscons.
 
Je me fie juste à une logique (Greg va ptet m'allumer).
 
Dans un système parfait, l'objet au centre, subit exactement la même attraction dans toutes les directions.
Donc placé au centre il s'immobilise, complètement.
 
Mais j'ai ptet tout faux    
 
Ya ptet encore un truc d'entropie/incertitude.. je ne sais quoi qui intervient et déséquilibre le système.  
 
Pour les calculs, va falloir faire appel au héro babylonien (ou sumérien j'sais plus), j'ai nommé Gilgamesh   .
 
Normalement l'invocation de ce demi dieu est assez rapide  

J'ai réfléchi au problème de la stabilité. Ma conclusion est la suivante : il est instable.
 
Pourquoi ? Supposons qu'il soit stable. Comme le champ n'est plus à symmétrie sphérique, il n'est plus nul partout. Considérons un petite sphère de rayon dr autour du centre, et calculons l'intégrale du champ de gravitation sur la sphère.
 
Comme le point est stable, cela signifie que le sens du champ est dirigé vers l'intérieur de la sphère en tout point de la surface (en effet, dans le cas contraire, il serait instable). L'intégrale du champ est donc non-nulle.
 
Mais la sphère ne contient aucune masse, donc d'après Gauss, l'intégrale est nulle.
 
On arrive à une contradiction, ce qui prouve que le champ n'est pas de sens constant sur la totalité de la surface de la sphère test.
 
Le centre est donc point d'équilibre instable.

Ok pour le tube , mais on parlait d'un tunnel creusé dans une masse et passant par le centre .
Pour l'equilibre , si on place un solide au centre du tunnel sans vitesse initiale , cela revient a laisser un corps de masse m sur un ressort dans un plan horizontale sans frotement a la position d'equilibre :
m*x'' + k*x =0 ( si on considere la terre comme parfaitement isolée)

 
Je maintiens mon propos, que tu as peut-être mal compris.
Si le tunnel a un diamètre de 30 m, le champ gravitationnel n'est pas nul uniquement au centre de la Terre mais en tout point de la sphère de 30 m de rayon ayant le centre d'inertie de la Terre comme centre.

Ah ok ! je suis d'accord en effet . Donc le champ est nul au centre de la terre mais plus generalement dans la sphere de rayon le rayon du tunnel autour du centre de la terre .
Autrement dit partout dans le tunnel il n'est pas nul et depend de la profondeur sauf au centre dans les limites d'une sphere de rayon d (d:diametre du tunnel).
 

 
Pour un tunnel de matière de longueur finie, le champ de pesanteur n'est pas uniquement nul au centre mais en tout point de la surface du cercle contenant ce centre.  
 
Pour s'en convaincre, il suffit d'appliquer encore une fois le théorème de Gauss à un cercle de matière. Le champ y serait nul en tout point de la surface intérieure.
 
Pour cette même raison, le champ interne au tunnel doit être dirigé selon l'axe de ce tunnel.  
 
Le champ de pesanteur, nul au centre, va encore croitre linéairement jusqu'à l'extrémité du tunnel.
On est donc encore ramené au cas d'une masse fixée à un ressort où la position d'équilibre correspond  à un équilibre stable.

 
J'ai pas lu le topic dsl, mais j'avait vu un reportage scientifique sur la5eme il me semble, et ils expliquaient que dans le cas de figure que tu propose si tu lache un objet d'un coté il émergerait avec une vitesse quasi nulle de l'autre coté de la terre .
 
Je pense que ca vient du fait que l'objet acquiert une cetraine vitesse lors de sa chute et l'énergie cinétique emmagasinée se dissipe quand il s'ecarte du centre de la terre donc ca s'égalise ..
 

 
Mais avec le frotement de l'air et l'effet de la gravité il devrait après avoir fait le yoyo un bon momment s'immobiliser au centre.

Je suis d'accord avec toi sur le fait que le champ de gravitation est colinéaire à l'axe du tunnel, mais uniquement sur l'axe du tunnel.
 
Et ainsi que je le signalais plus haut, cela n'empêche pas le centre d'être instable. En effet, si l'on trace les lignes de champs, on s'aperçoit qu'exceptée celle directement sur l'axe, toutes les autres vont s'incurver en direction du plan perpendiculaire à l'axe au voisinage de l'origine, ce qui en fait un point fixe répulsif.
 
Pour répondre à la question initiale, le mobile ne s'arretra donc pas au centre, mais sera repoussé sur les parois à l'approche du centre.