Comme vous le savez une clause de non concurrence doit être :  
- limité dans le temps
- dans l'espace
- dans l'objet
 
Sinon elle est nul. Mais également, elle doit être rémunéré pour être valable.
 
Ma boite actuelle veut renoncer à cette clause qui a surtout pour effet pour elle de ne pas me payer. Est-ce que je peux le refuser et demander le paiement comme convenu au départ ?

tout dépend de la clause (la maniere de l'ecrire en plus des mentions obligatoires).
 
En général c'est une option exercable par l'employeur et non le salarié donc non à ta question.

Il y a un truc bizarre alors. C'est l'employeur qui décide quand il paye ?
 
Dans ce cas, la clause de rémunération ne servirait à rien !

non, c'est l'employeur qui décide si lors de ta présence dans l'entreprise, tu as été en "contact" d'information """""top secret""""" qui pourrait interressé la concurence.
 

seulement si l'employeur exerce son option (une possibilité et non une obligation)