the_beliqueux a écrit :
Bonjour, j'ai un exercice de spé math pour la rentrée et je n'arrive pas a répondre à la dernière question : On veut montrer que, pour tout entier naturel n, a = 5^(2n) - 4^n est divisible par 7. 1).. 2) Démontrer cette propriété en utilisant les propriétés de récurrence
|
a = 5^(2n) - 4^n 4 = 2² donc 4^n = 2^(2n) a = 5^(2n) - 2^(2n)
La propriété "a est divisible par 7" est vraie pour n = 0 a = 5^0 - 2^0 = 1-1 = 0
est vraie pour n = 1 a = 5² - 2² = 25 - 4 = 21
Par récurrence, il suffit donc de démontrer que si elle est vraie pour n, elle est vraie pour n+1
On pose 5^(2n) - 2^(2n) = 7m
5^(2(n+1)) - 2^(2(n+1)) = 5^(2n+2) - 2^(2n+2) = 5^2n * 5² - 2^2n * 2²
= 5^2n * 5² - 2^2n * 5² + 2^2n *(5² - 2²)
= 5² (5^2n - 2^2n) + 2^2n * 21 = 5² * 7m + 2^2n * 21
(Remarque que l'on pourrait démontrer que a est multiple de 21.)
Message édité par gipa le 01-11-2007 à 10:38:44