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  Démonstration de congruence par récurrence

 


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Démonstration de congruence par récurrence

n°1383902
the_beliqu​eux
you know what ? ... I'm happy
Posté le 31-10-2007 à 22:35:49  profilanswer
 

Bonjour, j'ai un exercice de spé math pour la rentrée et je n'arrive pas a répondre à la dernière question :
On veut montrer que, pour tout entier naturel n, a = 5^(2n) - 4^n est divisible par 7.
1)..
2) Démontrer cette propriété en utilisant les propriétés de récurrence :
 Pour montrer que a est multiple de 7, on prouve que a est congru à 0 modulo 7
 
Voila donc j'ai reussi le 1) ou il faut démontrer la proposition par récurrence, mais je ne suis pas sur de bien comprendre la question 2), donc si quelqu'un pouvait m'expliquer comment faire
 
Merci d'avance

mood
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Posté le 31-10-2007 à 22:35:49  profilanswer
 

n°1384183
nazzzzdaq
Posté le 31-10-2007 à 23:26:08  profilanswer
 

a=5^(2n)-4^n=(5^2)^n-4^n=25^n-4^n = 4^n-4^n=0
Qed

n°1384834
gipa
Posté le 01-11-2007 à 09:48:39  profilanswer
 

the_beliqueux a écrit :

Bonjour, j'ai un exercice de spé math pour la rentrée et je n'arrive pas a répondre à la dernière question :
On veut montrer que, pour tout entier naturel n, a = 5^(2n) - 4^n est divisible par 7.
1)..
2) Démontrer cette propriété en utilisant les propriétés de récurrence
 


a = 5^(2n) - 4^n       4 = 2² donc 4^n = 2^(2n)      a = 5^(2n) - 2^(2n)
La propriété "a est divisible par 7" est vraie pour n = 0   a = 5^0 - 2^0 = 1-1 = 0
                                              est vraie pour n = 1   a = 5² - 2² = 25 - 4 = 21
Par récurrence, il suffit donc de démontrer que si elle est vraie pour n, elle est vraie pour n+1

 

On pose 5^(2n) - 2^(2n) = 7m

 

5^(2(n+1)) - 2^(2(n+1)) = 5^(2n+2) - 2^(2n+2) = 5^2n * 5² - 2^2n * 2²
                                                                    = 5^2n * 5² - 2^2n * 5² + 2^2n *(5² - 2²)
                                                                    = 5² (5^2n - 2^2n)        + 2^2n * 21           = 5² * 7m  + 2^2n * 21
(Remarque que l'on pourrait démontrer que a est multiple de 21.)


Message édité par gipa le 01-11-2007 à 10:38:44
n°1385062
the_beliqu​eux
you know what ? ... I'm happy
Posté le 01-11-2007 à 12:58:10  profilanswer
 

aah d'accord, merci d'avoir répondu si vite


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