Bonjour, j'ai un exercice de spé math pour la rentrée et je n'arrive pas a répondre à la dernière question :
On veut montrer que, pour tout entier naturel n, a = 5^(2n) - 4^n est divisible par 7.
1)..
2) Démontrer cette propriété en utilisant les propriétés de récurrence :
 Pour montrer que a est multiple de 7, on prouve que a est congru à 0 modulo 7
 
Voila donc j'ai reussi le 1) ou il faut démontrer la proposition par récurrence, mais je ne suis pas sur de bien comprendre la question 2), donc si quelqu'un pouvait m'expliquer comment faire
 
Merci d'avance

a=5^(2n)-4^n=(5^2)^n-4^n=25^n-4^n = 4^n-4^n=0
Qed

a = 5^(2n) - 4^n       4 = 2² donc 4^n = 2^(2n)      a = 5^(2n) - 2^(2n)
La propriété "a est divisible par 7" est vraie pour n = 0   a = 5^0 - 2^0 = 1-1 = 0
                                              est vraie pour n = 1   a = 5² - 2² = 25 - 4 = 21
Par récurrence, il suffit donc de démontrer que si elle est vraie pour n, elle est vraie pour n+1

On pose 5^(2n) - 2^(2n) = 7m

5^(2(n+1)) - 2^(2(n+1)) = 5^(2n+2) - 2^(2n+2) = 5^2n * 5² - 2^2n * 2²
                                                                    = 5^2n * 5² - 2^2n * 5² + 2^2n *(5² - 2²)
                                                                    = 5² (5^2n - 2^2n)        + 2^2n * 21           = 5² * 7m  + 2^2n * 21
(Remarque que l'on pourrait démontrer que a est multiple de 21.)

aah d'accord, merci d'avoir répondu si vite