J'ai un exo de math dont je n'arrive pas à trouver la solution
il s'agit de démontrer par récurrence que quel soit le naturel n non nul: 1/n! <(ou égal) 1/2(puissance n-1)
J'ai donc résolu une 1ère partie du problème
c'est à dire déterminer P qui désigne l'inégalité : 1/n! <(ou égal) 1/(2(puissance n-1))
no= 1
on vérifie alors si P(1) est vrai : 1/1! = 1 et 1/(2(puissance 1-1)) =1 donc l'inégalité 1<(ou égal) 1 est donc vérifiée.
On doit alors vérifier si P est héréditaire
On se donne un entier k appartenant à N pour lequel P(k) est supposé vrai
On se demande si P(k+1) est vrai..
Et c'est là qu je n'arrive pas à aboutir à une solution
je pense(je n'en suis pas sur du tout) que P(k+1) devrait s'écrire 1/(k+1)!< (ou égal) 1/(2(puissance k-1)) + 2puissance (k+1)???
Si tel est le cas..je n'arrive pas à aboutir à ce résultat..
Toutes vos réponses seront les bienvenues
Merci
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Posté le 12-10-2005 à 23:11:15
Tharkun92
Posté le 12-10-2005 à 23:13:46
Je sais pas comment tu as trouvé ce P(k+1) mais pour moi c'est pas ça du tout
Sjlc
Posté le 12-10-2005 à 23:22:06
justement c'est sur ce P(k+1) que je bloque.....
Tharkun92
Posté le 12-10-2005 à 23:29:33
Si P(k) est 1/k! <= 1/2^(k-1)
P(k+1) est 1/(k+1)! <= 1/2^k non ?
parisjohn
Posté le 13-10-2005 à 00:43:30
Soit P(n)=1/2^(n-1)-1/n!>=0
p(1) no soucy
soit p(n)
p(n)>=0 => p(n)/2 >=0 => 1/2^n-1/(2*n!)>=0 or 1/(n+1)!<=1/(2*n!) pour n>1
d'ou P(n+1)
sinclair_wilde
Posté le 13-10-2005 à 10:43:11
Simon, la réponse te convient ?
Sjlc
Posté le 14-10-2005 à 13:14:57
merci parisjohn
je viens de mettre tout ça au clair en effet, je n'y avais pas pensé à ça
Cependant cet exercice(qui me pose vraiment beaucoup de problème ) veut ensuite que l'on déduise de la question précèdente(c'est à dire après avoir montré par récurrence que 1/n!<= 1/2(n-1) ) qu'à partir de (un) définie par un= 1/1!+...+1/n!= somme(k=1) des n premiers 1/k!, la suite est majorée et ensuite convergente.
je pense qu'il faut déjà savoir si (un) est croissante ou décroissante
Ensuite on sait que toute suite croissante et majorée converge
Ici en l'occurence, (Un) est croissante il me semble...mais dans ce cas comment savoir par quelle valeur elle est majorée?
De même pour la convergence ...Vers quelle valeur converge cette suite?
Mettez moi sur la piste svp car là je galère un ptit peu sur cet exo
Merci
parisjohn
Posté le 14-10-2005 à 13:51:42
Non c'est plus facile que catu ecris l'egalite et tu somme sde chaque cote de ton egalite
somme(1/k!)<=somme(1/2^(k-1))
or la somme de droite c'est une suite geometrique de raison 1/2 donc ca converge
ta suite (un) est croissante et majorée donc converge
(un) croissant c'est evident regarde u(n+1)-u(n)=1/(N+1)! >0 !!!
Ce raisonnement est classique
gloupin
Taupin un jour
Posté le 14-10-2005 à 15:12:41
ttt arnaque, dm coupé en deux posts
nazzzzdaq
Posté le 14-10-2005 à 17:41:48
Bon pour lui finir l'exo on peut lui dire que
somme(1/k!)->e
somme(1/2^n)-> 2
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Posté le 14-10-2005 à 17:41:48
parisjohn
Posté le 14-10-2005 à 17:49:13
Je crois pas qu'en mettant le DL de l'exponentielle dans un DM de seconde je pense pas qu'il va trop kiffe son prof
nazzzzdaq
Posté le 14-10-2005 à 18:12:24
Oui c'est vrai qu'en seconde on ne connait pas exp.
Eh bien il pourra au moins démontrer somme(1/2^n)->2