Bonjour j'ai un devoir maison de maths, et il y a une question sur laquelle je reste bloqué,   est ce que quelqun 'un d'entre vous pourrait m'aider svp? Voici la question:  
 
Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels dont l'écriture décimale est constituée exactement de n chiffres 1 et qui sont divisibles par n.  
 
Merci d'avance pour vos réponses!  

essaie avec n = 3

OK avex n=3 ou n=9 mais celà ne fait que 2 entiers et la question est : "Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers .... ". On est loin du compte.
 
Si un nombre est écrit avec trois chiffres 1, il est divisible par 3
Si un nombre est écrit avec neuf (3²) chiffres 1, il est divisible par 9.
 
Il faut démontrer que si un nombre écrit avec 3^k chiffres 1 est divisible par 3^k alors un nombre écrit avec 3^(k+1) chiffres 1 est divisible par 3^(k+1). La récurrence fait le reste.

merci

LA récurrence ne me parait pas évidente.

 
La démonstration n'est effectivement pas évidente.
 
En partant d'un nombre x écrit avec n chiffres 1, avec n=3^k, et y écrit avec 3n chiffres 1 , 3n = 3^(k+1) , on démontre que y = x*3a. Si x est un multiple de 3^k, y est donc un multiple de 3^(k+1).
Comme avec k=1 (n=3)  111 est multiple de 3, avec k=2 (n=9)  111111111 est multiple de 9, avec k=3 (n=27) 1111...11 avec 27 chiffres est multiple de 27  etc...

Eu non ça ne me parait toujours pas évident

C'est ça.
Tu as édité pendant que je te répondais. Pourtant tu avais la solution.

x= 111...1 avec 3^k chiffres
y= 111...1 avec 3^(k+1) chiffres donc 3 fois plus.
Dans ces 3^(k+1) chiffres on peut faire 3 "tranches" de 3^k chiffres (chaque tranche = x)
donc y = x * 10^(2*3^k) + x * 10^(3^k) + x
          = x [10^(2*3^k) +  10^(3^k) + 1] et le crochet est un nombre qui s'écrit avec 3 chiffres 1 et des 0 donc la somme de ses chiffres est 3 donc il est multiple de 3    [10^(2*3^k) +  10^(3^k) + 1] = 3a

Si x est multiple de 3^k, x=3^k *b et y = 3^k * b * 3a = 3^(k+1) ab    y est multiple de 3^(k+1)

Y  = X*10^(2*3^k) + X*10^(3^k)+X  
= X(1 + 10^(3^k)+ 10^(2*3^k)) = X*3*A
ok

Sympa, n'est-ce pas ?