Bonjour, voici l'excercice que je dois faire.
 
S1,S2,S3,...,S8 sont huit entiers naturels définis par S1=1,S2=11,S3=111,..,S8=11 111 111
1/a/ Démontrer que parmi ces huit entiers, il y en a deux au moins, qui ont même reste dans la division par 7.
b/On note Sp et Sp' ces deux entiers avec 1p<p'8. Démontrer que Sp'-Sp est divisible par 7.
2/Démontrer l'existence d'un entier naturel divisible par 7 et dont l'écriture décimale ne contient que des 0 ou des 1.
3/Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel divisible par n dont l'éciture décimale ne contient que des 0 ou des 1.
 
Pour les questions 1/ et 2/ c'est pas trop compliqué à démontrer mais pour les 2/ 3/ je ne sais pas trop comment faire. Merci de votre aide.

Comment arrives tu au 2/ ?

Pour la 1/a/ les restes de la division euclidienne de S1,S2... par 7 sont 0,1,2,3,4,5,6 donc 7 restes en tout et comme il y a 8 nombres 2 ont au moins le même reste.  
Pour la 1/b/ on a Sp=7q+r et Sp'=7q'+r donc Sp-Sp'=7q-r-7q'-r=7(q-q'). Après je sais pas comment faire.

La question 2/ met en application une particulité des cas que tu a montré précédement.

Demande toi à quoi ressemble ton nombre Sp'-Sp . Ensuite pose ton crayon et relis tout ce que tu as fait jusque là et la réponse à la question 3 devrait t'apparaître tout seul.

 
J'ai la réponse du 2, j'ai la flemme pour le 3. Le souci est que j'utilise pas les questions d'avant.
Alors :
Tu prends les restes des divisions de 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 par 7, ça donne : 1,3,2,6,4,5. A partir du million, on reboucle sur les mêmes restes, dans le même ordre que celui donné avant. Il suffit de le vérifier pour le million et le prouver par une petite récurrence rapide après.
Donc comme l'écriture décimale d'un nombre est : la somme (coef n* 10(puisssance(n)) (Coef n, c'est un An) alors si tu divises, comme tu boucles sur les restes, tu vas pouvoir faire 6 tas au final de restes en plus des quotients par 7. Ces 6 tas de restes sont multipliés par 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6. Chaque tas de reste est une sommes de Coef n (avec le meme pas les séparant : coef 1, coef 6, coef 11 ...). Ces coef sont égaux à 0 ou 1 pour faire un chiffre dont l'écriture décimale est constituée de 0 ou de 1 uniquement.
Je récapitule : tu dois prouver qu'il existe un chiffre dont ces coef sont égaux à 0 ou 1 et dont les tas de restes peuvent etre divisés par 7 (le quotien l'est par définition). Tu peux en trouver autant que tu veux, en jouant sur ces coef. Exemple : dans le tas de reste qui est multiplié par le reste 5, tu prends un coef à 1 et autant que tu veux en 0, et dans le tas de reste qui est multiplié par 2, tu en prends un à 1 et le reste en 0. ça te donne par exemple 100 + 100 000 = 100100 qui est divisible par 7.
Je sais, c'est super confus comme démonstration, je l'ai fait de manière propre, mais sans sigma et et indices, c'est dur d'expliquer très clairement.

Il existe une solution qui tient en 3 lignes.

 
Oui, en une même. Mais ça m'amusait de jouer avec des sommes
Puis une fois à 7, suffit de généraliser à n.

Bon une propriété générale de la divisibilité par 7 qui peut t'aider:
Soit abcdefgh un nombre de huit chiffres.
Le reste de la division par 7 correspond au reste de la division par 7 du nombre suivant:
h  
+ 3 x g  
+ 2 x f  
- 1 x e
- 3 x d
- 2 x c
+ 1 x b
+ 3 x a
 
(démo très simple si tu sais calculer dans Z/7Z)  
 
Avec ça tu démontres facilement 2/ et 3/

 
Etonnante propriété!

Mais arrêtez de l'embrouiller alors que c'est tout con ! (vous allez lui faire détester ce qu'il fait   )
 
Regarde ton nombre Sp'-Sp et c'est tout ce dont tu as besoin. La question 3 n'est qu'un récapitulatif.

En effet c'est très joli.

 
Je sais, c'est méchant  

Et ca te permet vraiment de repondre à la question 3/ ça ?

Pour la question 2/ il suffit juste de dire en fait que sp'-sp est un entier naturel divisble par 7 et comme sp' et sp sont composés que de 1 la différence ne sera composée que de 0 ou 1. C'est ça ? Après pour la 3/ je sais pas si c'est plus compliqué.

Oui c'est ça (même si tu dois expliquer un peu plus "proprement" le pourquoi des 0 et des 1). Pour la 3/ ce n'est pas plus compliqué, pose ton stylo, relis tout et tu devrais trouver.

Comment est--ce que je peux dire rigoureusement que l'on a que des 0 ou des 1 en faisant sp'-sp ? J'ai pas l'impression que c'est possible en exprimant une forme générale de l'entier s.

1/ Qu'est-ce qui se passe si Sp' est plus grand que Sp
2/ Qu'est-ce qui se passe sinon
 
Edit : meme pas, tu avais déjà p'>p, donc c'est juste le cas 1/ en fait.

D'après la définition j'ai bien Sp, - Sp >0 mais comment justifier clairement qu'on a que des 0 ou des 1. Parce que ça semble évident.

T'es d'accord que 111 = 1*100 + 1*10 + 1*1 ? Et ben essaie ca (indice general : des qu'on te parle des chiffres qui constituent un nombre, il est rarement mauvais d'ecrire celui-ci en base 10 puisque c'est celle qu'on utilise pour ecrire nos nombres justement).

Pour le 3/ il suffit de travailler dans Z/NZ.
 
Dans Z/NZ on considère les nombres suivants:
X0=10^0+10^1+....10^N
X1=10^1 + 10 ^2...+ 10^N
...
XN= 10^N
Deux possibilités:
- il existe un ou plusieurs Xi tel que Xi=0 => on a gagné.
- Aucun Xi est nul.
Dans ce cas, on montre qu'il existe i,j i>j tel que Xi=Xj (P1).
En effet si P1 est fausse, cela voudrait dire qu'on a N+1 éléments dans un groupe de N élément (Z/NZ - {0}).
On a gagné, le nombre en question est Xj-Xi.

Mouais, vu le niveau de l'exo, ca m'etonnerait qu'il faille ecrire des choses compliquees comme ca. Suffit d'aller jusqu'a Sn (ce qui revient a la meme chose que ce que tu dis, mais sans vouloir rendre les choses compliquees alors qu'elles sont simples).

J'ai la flemme de passer par les étapes intermédiaires (1/a b c 2/ même pas lues...). MAis si tu exposes ta solution je la lirai c'est promis. En particulier Sn c'est quoi?

En plus j'ai pas trop l'impression d'être HS parceque ma solution contient l'aspect "tiroirs de Dirichlet".

Tu n'es pas HS du tout, c'est tout a fait juste ce que tu marques. Ce serait meme tres tres bien si il y avait juste la question 3/
 
Mais vu le detail des questions, ce n'est pas le niveau de reponse qu'on attend, clairement.
 
Quant a Sn, si tu veux savoir ce que c'est, lis l'enonce (des fois ca sert pour repondre a une question ).

.

Oui OK je vois

ON se tape Dirichlet à partir du 1/a

 
Toujours pas ?
 
Edit : OK.

 
C'est quand même un peu compliqué ça.

T'es en quelle classe nicolas 63?

Pour la 3/ je peux dire que on a n reste dans la division euclidienne par n donc pour n+1 on a au moins deux entiers qui auront le même reste dans la division par n. La différence de ces deux entiers est divisible par n donc si cette différence est composée que de 0 ou de 1 on peut dire qu'il existe un entier naturel divisible par n donc l'écriture décimale ne contient que des 0 ou des 1. Ca à l'air clair ?

terminale S

Exact. Et c'est bien que tu trouves en reflechissant, meme avec des indices (je dis ca pour ceux qui veulent te cracher une solution toute cuite ou t'impressionner - mais je ne dis pas ca mechamment ! ).

OK j'ai cru que t'étais en Math spé (cf titre du message).

Ah oui c'est sur que s'il etait en maths spe, on attendrait plus un truc du genre de ce que t'as marque, effectivement. Mais il n'y aurait pas les questions 1/ et 2/.

Bien sûr!

J'en reviens au 2/ pour montrer que sp'-sp est composé de 0 et de 1. Je peux peut-être exprimer sn tel que sn=s(n-1) (indice) +10^(n-1) avec s1=1. Du coup je peux montrer que sn - s(n-1) est composé de 0 et de 1 mais pour les autres ?

Moi je comprends pas. Ta réponse n'est pas claire.

 
math spé c'est ce que j'envisage mais déja la spécialité maths ça me donne un "petit" aperçu.