Il suffit de montrer que ||u(x+k*y)||=||x+k*y||

On le fait séparément par soucis de clarté

• Soit k€IR, soit x€F

||u(k*x)||=||ku(x)||=|k|*||u(x)||=|k|*||x||=||kx||

• Soient x,y€F

On sait que ||u(x+y)||=<||x+y|| via |||u|||=1
Reste à montrer que ||u(x+y)||>=||x+y||

On va noter ||.|| N(.) par la suite.
On sait que
N(u(x+y))²=N(u(x)+u(y))²=2(N(u(x))²+N(u(y))²)-N(u(x)-u(y))²
Or N(u(x))=N(x) et N(u(y))=N(y) et N(u(x)-u(y))=N(u(x-y))=<N(x-y)

Ainsi -N(u(x)-u(y))²>=-N(x-y)²

D'où N(u(x+y))²>=2(N(u(x))²+N(u(y))²)-N(x-y)²

Or 2(N(u(x))²+N(u(y))²)-N(x-y) c'est exactement N(x+y)²

D'où le résultat.

Sens facile : si p est orthogonal :
|x|² = |x - p(x)|² + |p(x)|²
 
Réciproque :
Soit Q(x) = <p(x), p(x)>. Par hypothèse, Q(x) <= |x|².
 
Soit x dans ker p, y = p(y) dans im p.
Q(ax+y) = Q(y) = |y|².
On a donc |y|² <= |ax+y|² = |y|² + 2a<x,y> + a²|x|², pour tout a.
On écrit que le discriminant de P(a) = 2a<x,y> + a²|x|² est négatif, ce qui donne <x,y>² <= 0.
 

1 - d'où ??
 

Je pensais à Vandermonde

place toi dans Rn[X] muni du produit scalaire <P,Q> = somme sur i des P(ai)*conjugue(Q(ai))

A permute les coordonnées.
On pose, pour w^n = 1, u_w = t(1, w, ... , w^{n-1})
Alors Au_w = wu_w.
On a trouvé n valeurs propres différentes, les racines de l'unité. De plus, la famille {u_w} est une base car les valeurs propres sont différentes.
 
Soit B=1/p*sum(A^k, k=0..p-1).
Bu_w = 1/p*sum(w^k, k=0..p-1) u_w.
 
\Si n et p ne sont pas premiers entre eux : soit d divisant n et p.
[0, p-1] est la réunion des {k, k+p/d, ... , k+(d-1)p/d}, k dans [0, d-1].
 
sum(w^k, k=0..p-1) = sum_k w^k [sum_l (w^{p/d})^l]
 
Si on peut trouver d tel que p/d>1, auquel cas w^{p/d} peut être différent de 1 et la somme nulle. Auquel cas on a trouvé un élément du noyau de A.
 
\Si n et p sont premiers entre eux : il existe u, v tels que pu = 1 + nv.
Pour w = 1, sum(w^k, k=0..p-1) est non nul.
 
Sinon,
(w + w^{p+1} + ... + w^{(u-1)p+1}) sum(w^k, k=0..p-1) = sum(w^k, k=1..pu)
= sum(w^k, k=1..1 + nv) = v sum(w^k, k=1..n) + w^{1 + nv} = w est non nul.

p[F] le projecteur que p induit sur F.
Ce qui implique que F=Im(p[F])(+)Ker(p[F])
où (+) désigne la somme directe, et clairement on a les ev trouvés sont sev de ceux demandés.

Le polynome caractéristique ca semble pas facile. On travaille donc sur des sous espaces stables.
Si on note u l'endomorphisme associé et B=(e1,...,en) la base tq mat_B(u)=A on a:

u(e1)=a1*en
u(e2)=a2*e_(n-1)
...
u(ei)=ai*e_(n-i+1)
...
u(e_(n-1))=a_(n-1)*e2
u(e_n)=a_n*e1

Donc S_i=Vect(ei,e_(n-i+1)) est clairement stable par u.
Or E=(+)S_i (somme directe des S_i)
Il faut et il suffit donc de montrer la diagonalisabilité sur tous les S_i.
On se place donc sur la restriction de u à un S_i, il a pour polynome caractéristique: poca(u[S_i])=X²-ai*a_(n-i+1) (la matrice de la restriction est une matrice 2x2 avec a_i en bas à gauche, a_(n-i+1) en haut à droite et des 0 sur la diagonale)

Là c'est l'inconnu, l'énoncé ne précise pas dans quel espace on veut diagonaliser.
Dans IR il y a un soucis vu que le poca n'est pas nécessairement scindé (il suffit qu'il existe i tq ai*a_(n-i+1)=1)
Dans IC par contre ce polynome là sera scindé.

Si ai*a_(n-i+1) différent de 0 ca roule
Si ai*a_(n-i+1) est nul alors 0 est valeur propre, y a potentiellement un soucis si un des deux a_k est non nul car alors elle n'est pas diagonalisable, en effet si elle l'était alors elle serait semblable à une matrice diagonale ayant ses vaps sur la diagonale, vap qui seraient en l’occurrence 0 et x, or tr(u[S_i])=0 donc x=0, mais la matrice n'est pas nulle...

Ainsi u[S_i] diagonalisable ssi (ai,a_(n-1+1))=(0,0) ou (ai,a_(n-1+1))!=(0,0)
D'où A diagonalisable ssi (ai,a_(n-1+1))=(0,0) ou (ai,a_(n-1+1))!=(0,0)

Il m'a pris du temps celui là.    

J'ai oublié le cas si n est impair.
Ben là c'est pareil sauf que le vecteur du milieu est valeur propre évidente, donc la discussion sur les autres espaces stables reste valable.

il faut surtout ai*a_(n-i+1)>0et dans ce cas c'est diagonalisable sur IR
à la fin il y a des i qui sont devenus des 1
et ta condition finale c'est pas ça, c'est (ai,a_(n-i+1))=0 ou ai*a_(n-i+1)=/=0 sur IC et (ai,a_(n-i+1))=0 ou ai*a_(n-i+1)>0 sur IR