Salut all voila j' ai un dm de math qui me bloke
 
voila le sujet:
 
1) Dans son traité d' arithméthique de 1654, blaise pascal calcul la somme (1+2+3+...+n) en partant de la formule:
(k+1)²=k²+2k+1
Il écrivait les n égalités obtenues en prenant successivement k=1,2,3,...,n puis il ajoutait membre a membre. On simplifie... Il ne reste que deux carrés, 1² et (n+1)², et on retrouve aisément la formule:
SOMME(des n K avec k=1)= (n(n+1))/2   (1)
 
Le somme signifie sigma majuscule (je pense que vous m' aviez compris lol )
 
2)
a) vérifier que (k+1)²=k^3+3k²+3k+1
Bon la on fait un raisonnement pas récurrence (il me semble)
pour k=1 ...
Pour n+1 (k+2)²
etc...
b)en ajoutant membre a membre, comme pascal, les n égalités ainsi obtenues pour k=1,2,3,...,n et en utilisant la formule (1), prouver que:
 
SOMME(des n k² avec k=1) = ((n(n+1)(n+2))+6     (2)
 
Et donc voila je n' arrive pas a comprendre comment il faut faire, pourtant c' est clairement expliquer mais bon je trouve pas
 
3) verifier que (k+1)^4=k^4+4k^3+6k²+4k+1
b prouver que  
SOMME(des n k^3 pour k=1)= ((n²(n+1)²)+4
 
facultatif SOMME k^4
 
 
Voila en fait il me faudrait la méthode et apres ca devrait etre pareil.
 
Merci ++ all

1) pour (k+1)^3 developpe le en (k+1)(k+1)^2
pas besoin de recurrence

tu fais comme indiquer:
 
k=1   (1+1)^2=1^2+2+1
k=2   (2+1)^2=2^2+2*2 +1
k=n    (n+1)^2= n^2+ 2n +1  
 
tu peux voir que le facteur de gauche (k+1)^2 s'annule avec le premier terme de gauche mais de la ligne du dessous    
 
donc à la fin il reste
 
(n+1)^2= SOMME( des n 2k+1)
 
après tu fais un changeemnt de variable pour trouver la somme des K

Tu fais le meme raisonnment pour les k^2 et k¨3  
C'est sur que ca va etre plus chiant comme calcul

ERRATUM HUMANUM EST  
 il reste (n+1)^2-1= SOMME( des n 2k+1)

lol tu peux etre plus clair stp je vois aps trop comment tu fais.
 
Merci

Le carré d'une somme de 1 à n c'est la somme des cubes des nombres de 1 à n

Ok ca explique le rapport, mais en fait moi je n' arrive pas a faire les simplification car si je suis la méthode de jeff ca ne marche pas tout le temps donc je ne sais aps trop

Qu'est ce que tu ne comprends pas?
 
Tu arrives à (n+1)^2-1= SOMME( des n 2k+1)
 
Tu simplifies n^2+2n= n+ SOMME( des n 2k)
tu changes de variable
SOMME( des n k)=n(n+1)/2

Apres pour les ordres superieur je n'ais pas fait le calcul

Ca j' ai compris mais c' est ta simplification car regarde:
 
si tu supprime le (k+1)² avec 2² ensuite tu n' as plus le (k+2)² en entier donc tu ne peux plus réduire par la suite

remarque attend regarde
 
(1+1)²+(2+1)²+...+(n+1)²=1²+2*1+1+2²+2*2+1+...+n²+2n+1
 
Donc tois tu arrive a
(n+1)²=2n+1 apres tu remplace et tu trouve la formule ca daccord
 
Mais comment tu arrive a tous eliminer car si tu enleve (1+1)² d' un coté tu ne peux que enlever 2² de l' autre ce qui implisque qu 'il te reste encore  le1+2+1 du début, tu vois ou alors c' ets moi qui plante royale?

k=1   (1+1)^2= 1^2+ 2 [#ff1c00][/#ff1c00]+1
k=2   (2+1)^2= 2^2[#ff2a00]+ 2*2  +1
k=2   (3+1)^2= [#0000ff]3^2+ 2*3  +1
 
k=n-1   (n-1+1)^2=  (n-1)^2+ 2(n-1) +1
k=n    (n+1)^2= n^2+ 2n +1

k=1   (1+1)^2= 1^2+ 2 +1
k=2   (2+1)^2= 2^2+ 2*2  +1
k=2   (3+1)^2= 3^2+ 2*3  +1
 
k=n-1   (n-1+1)^2=  (n-1)^2+ 2(n-1) +1
k=n    (n+1)^2= n^2+ 2n +1
 
les memes couleurs s'annulent donc à gauche il te reste (n+1)^2 et à droite 2n+1   2(n-1)+1  ...  et 1 en vert

je viens de terminer le k^2 et le k^3
en fait c'est pas plus dure il faut juste derouler la methode et utiliser les resultats des ordres precédents