Je viens ici parce que j'ai des misères en maths. Pour poser le décor, j'ai eu mon bac y a une quinzaine d'années (S), je dois me remettre à niveau en maths, et pour le moment c'est système D, donc pas de prof à qui poser des questions.
 
Voilà la définition du sous-groupe engendré qui figure dans mon cours de maths :
 

 
 
Comme autre définition, j'ai réussi à trouver ça :
 

 
Et ça m'avance pas plus    
 
Et du coup, vu que je comprends pas le début, je coince aussi sur la définition de groupe monogène :
 

 
 
Est-ce qu'une bonne âme aurait sous la main quelque chose de plus détaillé, et surtout un exemple, parce que je pense que c'est surtout ça qui me fait défaut pour comprendre de quoi on parle.
 

 
 
Les deux définitions que tu donnes d'un sous-groupe engendré sont équivalentes, et c'est un bon exercice de le montrer. (en deux temps : montrer l'inclusion dans un sens, puis dans l'autre)
 
Ensuite, un groupe est monogène ssi il est engendré par un seul élément. En fait, c'est un abus de langage : un groupe monogène est engendré par un singleton, c'est-à-dire par un ensemble ne comportant qu'un élément (on écrit abusivement <{a}> = <a> )
 
 
Comme exemple de groupe, on peut citer (Z,+) , avec Z ensemble des entiers relatifs.
 
Pour n entier naturel, on appelle nZ l'ensemble des entiers relatifs multiples de n. (en fait nZ = { n.z / z elt de Z } )
 
Je te laisse montrer que (nZ,+) est un sous-groupe de (Z,+), et qu'en plus il est monogène.
 
 
Ensuite, tu peux étudier le sous-groupe de (Z,+) engendré par (nZ U pZ,+), voir si il est monogène, et si oui trouver un élément générateur...
 
... et faire de même avec l'intersection ...

Merci pour l'explication, avec un exemple ça va tout de suite mieux
 
Je vais tenter la démonstration histoire de m'assurer que j'ai compris correctement.