Bonsoir,  
 
J'ai un exo en maths et j'ai du mal a avancer pourriez vous m'aider svp?
 
 
on se place dans l'espace vectoriel R^3  
 
u1 = (1,2,0) u2=(1,0,2) u3=(2,0,1)  
 
v1=(3,1,-1) v2=(-1,3,1) et v3 = (-26,8,12)  
 
1. Déterminer le rang de la famille (v1,v2,v3)
 
Le rang est 2 donc car un vecteur s'écrit comme combinaison linéaire de deux autres. v3 = 7v1- 5v2
 
2. On admet que (u1,u2,u3) est une base de R^3 Soit f l'endomorphisme de R^3 défini par f(u1) = v1 f(u2) = v2 et f(u3) = v3  
 
a. Justifier l'existence et l'unicité de cet endomorphisme.
 
Je ne vois pas comment prouver la linéarité pourriez vous m'aider svp ? Ni comment montrer l'unicité
 
Identifier le noyau et l'image de f par une base. Déterminer la matrice B de f dans la base (u1,u2,u3).
 
Pour l'indentification du noyau comme on a rg f = 2 alors dim Imf = 0 d'ou dim ker f = 1 car dim E = dim kerf + dim Im f d'après le théorème des dimensions,  
il y aurait donc 1 base pour le noyau et la base pour l'image serait (F(u1) , f(u2))  
 
donc imf = (F(u1), F(u2)) et (-7,-5,1) appartient à ker f
 
Pour la matrice B de f est ce :  
 
B =  
 
3 / -1 / 0
1 / 3 / 1
-1 / 1 / 2
 
?
 
Calculer f(e1) f(e2) f(e3) où (e1,e2,e3) est la base canonique de R^3 .
 
pourriez vous 'maider svp je vois pas comment calculer f(1,0,0) f(0,1,0) et f(0,0,1=
 
 
Merci de votre aide.

Je ne crois pas qu'il faille prouvr la linéarité : on te demande de justifier que cet endomorphisme existe, pas de le trouver. Par théorème, il existe un endomorphisme transformant une base de R^3 en une famille de 3 vecteurs (même si cette autre famille n'est pas une base). Voilà pour l'existence.
Pour l'unicité, je pense que le plus simple est de te restreindre à R^2 dans un  premier temps. Tu dis que (u1,u2) et (v1,v2) sont des bases de R^2, donc par théorème, il existe un unique endormorphisme transformant l'une des base en l'autre. Ensuite, tu repasses en dimension 3 : tu reprends l'endomorphisme précédent, mais en imposant qu'il transforme u3 en v3. Etant donné que tu imposes cette condition, tu as un seul endomorphisme qui convient.
 

Plutôt dim Im f = 2 !!! En tout cas, c'est ce que tu as utilisé dans le théorème du rang.
 
Pour ta matrice B, ton résultat est faux. Quand tu écris la matrice d'un endomorphisme, tu fais de cette manière :
  f(u1) | f(u2) | f(u3)
  ---------------------
  (     |       |     ) u1
  (     |       |     ) u2
  (     |       |     ) u3
 
C'est-à-dire que ta première colonne est les coordonnées de f(u1) dans la base (u1, u2, u3), la deuxième colonne, les coordonnées de f(u2) dans la base (u1, u2, u3), et la troisième colonne les coordonnées de f(u3) dans la base (u1, u2, u3).
Je te laisse le soin de calculer la matrice : il faut exprimer les coordonnées de f(u1)=v1, f(u2)=v2, f(u3)=v3 dans la base (u1, u2, u3).
 
 

Soient x et y appartenant à R^3 tels que y=f(x). Matriciellement, tu sais que Y=BX, où B est la matrice de précédement définie. Donc tu as une simple multiplication matricielle à faire pour trouver ton résultat.
 
Bon courage pour tes calculs    
 

Autre solution : si 2 endomorphismes f et g sont egaux sur une base alors ils sont egaux partout (puisque il suffit de decomposer un vecteur v quelconque sur sur la base pour voir que la valeur de f(v) est la meme que celle de g(v)).

il y a un topic maths dans Discussion

Merci beaucoup à vous deux, vos explications sont claires, je vais pouvoir avancer.