Rien de compliqué.
Ton formulaire pointe vers une page de traitement en php.
Dans cette page, tu récupères les valeurs avec $_POST['variable'] (qui correspond à ce qui est envoyé par exemple par un champ texte, genre <input type="text" name="variable"... )
Ensuite, tu enregistres les valeurs dans un txt tout bêtement. Fais une recherche sur fopen.