ajax te permet de récupérer un fichier sur le serveur et d'envoyer des informations au serveur sans recharger la page. Accéssoirement, ca te permet de rafraichir les données et la structure de la page à partir des réponses du serveur.
ajax permet de rendre la navigation plus aisé quand c'est bien utilisé et utilisé intéligement mais ca la rend bien plus pénible quand c'est mal utilisé.
En tout cas, même si ajax peut aider dans certains cas, ca ne remplace en rien php et mysql vu qu'ajax n'a ni la même utilité ni le même objectif que le couple php/mysql.
Au fait, techniquement ajax, c'est l'utilisation d'un langage côté serveur (javascript en général) + un dialogue avec un serveur + le traitement des fichiers renvoyé par le serveur (des fichiers xml en temps normal) A aucun moment la méthode ajax ne s'occupe ni ne se préoccupe du stockage des données sur le serveur. Comme tu vois, ajax ne sera pas sufisant et en fait tu peux trés bien t'en passer sans probléme.