Petit probleme récréatif

Toto doit écrire le plus grand nombre possible le plus vite possible! (le temps d'écriture est seulement fonction du nombre de symboles).

Comment doit-il s'y prendre ?

Pour l'instant deux solutions sont en concurrence :
9^(9^(9^9...                (les ^ n'ont pas besoin d'être écrites bien sûr).
9!!!!! ...

J'avoue avoir une préférence pour la suite de factorielles, mais la suite de puissances prend un départ tonitruant qui laisse le doute subsister. ( 9^(9^9) est trop grand pour maple et explose 9!! ).

Voilà, je cherche bien sûr des réponses rigoureuses, ou d'autres suggestions.

Déjà je récapitule les avancées théoriques déjà acquises :

Si au bout d'un certain rang, la suite de factorielles rattrape la suite des puissances, les factorielles vont exploser les puissances.
Dem : pour a suffisamment grand a! >> 9^a

L'ennui c'est qu'il n'est pas prouvé que les puissances seront un jour rattrapées, vu l'avance qu'elles ont prise.

A partir de là, une solution serait d'écrire par exemple 9^9 puis après que des factorielles 9^9!!!!!
Mais c'est de la triche. Je veux qu'on écrive que des ! ou que des puissances.

Tout en restant bien sûr ouvert à d'autres idées.

Si la construction de ton nombre est récursive ,il est clair que l'exponentielle l'emporte sur la factorielle.

"il est clair que" c'est pas très rigoureux.
surtout quand ça contredit ce que je pense.

Ben le problème consiste à créer le plus grand nombre à partir de la chaine abcdef...
 
1/ il faut trouver f tel que quelquesoit x, quelquesoit g, f(x) > g(x)
2/ on construit le nombre récursivement
f(f(f(f(f(f(x)...

La formule de Stirling ne permet pas de comparer les factorielles aux exponentielles?

moi je dis  
 
  ^ ^   !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
 
 

 
Pourquoi veux tu comparer les factorielles aux exponentielles puisque ! < 9^
 
Entre parenthèses, a! >> 9^a, je suis d'accord, mais 9^a n'est pas  la construction récursive pour construire un grand nombre en un minimum de caractères....
 
Un petit indice: si a = abcdefgh il faut autant d'"effort" pour écrire a! que 9^9^9^9^9^9^9^9^9.  
 
alors quel est le vainqueur?

Moi, je ferai un truc style :
a = 9 ^ a
 
toto écrit donc :
a
 
Félicitations.

de mon coté je pense que c'est factorielle qui l'emporte  

en gros, à partir d'un certain rang:
a! > (a^9)^9
 
tu montres que ce 'a' existe, et ça devrait te permettre de conclure facilement...

 
Attention la récursion est a^(9^9) (et non (a^9)^9
 
Si a! >a^9 est on certain que
a!!!! >a^9^(9^(9^(9..?

1000! > 1000^500 (direct en associant les nombres plus grand que 500 à ceux inférieurs)
 
du coup:
1000! > 1000^81 = (1000^9)^9
on a donc notre 'a' dont je parlais précédemment
il est direct que cette propriété reste vraie pour tout entier supérieur à 'a'
 
on définit u(n) et v(n) par:
* u(0)=v(0)=9
* u(n+1)=u(n)^9 et v(n+1)=v(n)!
 
il existe deux entiers p et q tels que: v(q)>u(p)>1000
et pour tout entier n, on a: v(q+n)>u(p+2n)
 
donc il existe un rang m tel que: v(m)>u(m)
on peut alors conclure que pour tout n plus grand que m, v(n)>u(n)
 
   
 

 
merde en effet
bon j'y réfléchirai plus tard...

Je ne comprends pas ce que tu dis.

Je ne comprends pas ce que tu dis.

bon je reprends ton raisonnement:
"Si au bout d'un certain rang, la suite de factorielles rattrape la suite des puissances, les factorielles vont exploser les puissances.
Dem : pour a suffisamment grand a! >> 9^a
"
Quel est pour toi la "suite de factorielles" et la "suite des puissances"?

ben la suite de factorielles c'est :
u0 = 9
u(n+1)=u(n)!

la suite de puissances c'est
u0=9
u(n+1)=9^u(n)

Bon, est ce que la proposition suivante est correcte?
"la suite de factorielles rattrape la suite des puissances"

je ne sais pas, c'est ce que je cherche !

up

Je pense que la réponse est 42.