Bonjour à tous,
 
En reprise d'études via le CNAM en licence info et n'ayant pas fait de maths depuis plus de 15 ans, je demande un peu d'aide concernant un exercice sur les suites. J'ai répondu à toutes les questions sauf celle-ci où je bloque un peu    
 
Soit la suite Un+1 = 1/2 (Un + 2) et je dois démontrer qu'elle est décroissante.
 
J'ai donc fait la soustraction Un+1 - Un < ou = à 0, ce qui donne :  
1/2 (Un + 2) - Un < ou = à 0
1/2 Un + 1 - Un < ou = à 0
-Un + 2 < ou = à 0
 
Est-ce que je peux directement conclure que la suite est décroissante grâce à -Un + 2 < ou = à 0 ? Car si je continue mon calcul, je trouve -Un < ou = à -2, ce qui signifie que Un est > ou = à 2 (qui est la limite de la suite que j'ai calculé dans les questions suivantes   )
 
Un grand merci par avance !  

Effectivement, il faut étudier le signe de Un+1 - Un pour conclure sur le sens de variation de la suite.
 
L'énoncé demande de montrer qu'elle est décroissante. Ce que je peux voir en calculant les premiers termes : U0 = 10 donc U1 = 6, U2 = 4, U3 = 3, etc.
 
Alors je suis perdu  

Comment tu as trouvé le u_0?

Il peut être utile de prouver dans un premier temps que u_n est plus grand que 2 pour tout n.

Il est donné par l'énoncé que je C/C ici :
On définit la suite numérique (Un) par : U0 = 10 et pour tout n ∈ N, Un+1 = 1/2 (Un + 2)
1. Calculer les trois premiers termes de la suite (Un).
2. Vérifier que la suite (Un) est une suite décroissante.
3. Montrer que pour tout entier naturel n : Un > 0.
4. Déduire des questions précédentes que la suite (Un) est convergente. Déterminer sa limite.
 
J'ai répondu :
1. U0= 10 donc U1 = 6, U2 = 4, U3 = 3,...
2. J'ai admis que c'était de décroissant.
3. J'ai montré par récurrence que Un > 0
4. J'ai conclu que la suite était décroissante et minorée par 0 donc elle est convergente. Sa limite, après calcul, est 2.
 
Mais je bloque sur le sens de variation    
 
Merci pour votre aide en tout cas  

Recalcule u(n+1)-un, tu vas trouver 1 - ¹\² un. Donc, si tu arrives a montrer que un est plus grand que 2 pour tout n, tu auras répondu a la question 2 et a la question 3 en meme temps..

Il faut faire une démonstration par récurrence non ?
Tu as vérifié que U1<U0
Ensuite tu pars de l'hypothèse que U(n+1) < Un.
et tu montres que pour tout n, U(n+2) < U(n+1)

Merci pour vos réponses    
 
Je vais essayer de faire une démonstration par récurrence pour montrer le sens de variation de cette suite