salut à tous,
j'ai un exo d'algebre linéaire et je bloque sur l'énoncé, je sais pas du tout de quoi partir donc si vous pouviez me mettre un peu sur la voie, ça serait sympa
 
Supposons que A={ai,j} soit de l'ordre n et singulière. Montrer qu'il existe toujours une matrice B={bi,j} différent de 0 tel que AB=0. (Ecrivez cette équation AB = 0 comme système des équations linéaires et argumentez à l'aide des vecteurs qui forment les colonnes de B.)
 
ce qui me gène surtout c'est qu'on ait aucune valeur. Donc je sais pas trop d'où partir.
 
merci d'avance pr votre aide

tu as déjà parlé de noyaux et d'images ?

oui, mais je vois pas trop comment l'utiliser ds cette exo, tu peux etre plus précis

on peut trouver une solution en parlant plus particulièrement du noyau de A et de l'image de B.

A singuliere =>Ker A non reduit au vecteur nul

 
 
comment tu déduis ça ?
si A est singuliere, on peut seulement dire que le determinant = 0

aïe, il va être chiant l'exo si tu n'as pas ça...

A singuliere =>Ker A non reduit au vecteur nul
 
c'est normalement une propriété du cour ?

ben, oui

ok je viens de vérifier ds mon cour (je suis en 2eme année d'eco gestion) , je trouve pas cette propriété.

ya pas une autre méthode ?

bah, en gros, tu sais quoi sur les matrices singulières ?

que leur déterminant égale 0. ça nous aide pas bcq je suppose ?

et tu sais quoi sur le déterminant ?

on sait comment le calculer, on a appris aussi les mineurs, les cofacteurs, les familles libre, liées
le déterminant d'un produit de matrice n x n est égal au produit des determinants det(AB) = det A. det B

Vous avez appris le TH du rang??

que quand la famille est libre, le rang est égal au nbre de vecteurs ?

f:E---F application lineaire
 
dimE=rg(f)+dim(Kerf)

 
 
Bonsoir,
 
Voici une démonstration qui essaie de se restreindre aux notions que tu connais.
 
 
A singulière
<=> det(A) = 0
<=> les vecteurs-colonnes de la matrice A forment une famille liée
 
Appelons ces vecteurs-colonnes A_j, avec j numéro de colonne.   (   on écrit     A = ( A_1   A_2  A_3  ...  A_n )    )  
 
Les A_j sont liés <=> il existe des coefficients non nuls k_j, tels que somme(k_j.A_j) = 0   (ca, normalement c'est dans ton cours)
 
Si tu considères le vecteur-colonne K qui contient les coefficients k_j ...
... tu remarques que le produit A.K n'est autre que la somme qui vaut 0 plus haut. ( le "somme(k_j.A_j)" )
 
Ce vecteur K est donc un élément non nul du noyau de A (Ker(A))
 
Cela prouve que le noyau est non-réduit à 0 quand le déterminant vaut 0.
 
 
Ensuite, je te laisse trouver une matrice B bien choisie qui permettra d'avoir A.B = 0

ouai c bon, tout ce que t'as mis c ds mon cour
merci bcq pr votre aide