Salut,
Bon désolé pour ce poste mais je pense que c'est ici que je pense toucher le plus de personnes à même de pouvoir répondre!
 
Je cherche comment démontrer qu'une fonction continue sur un intervalle [a,b] admet une borne supérieure & inférieure. En fait je dois démontrer le théorème de rolle, bon ça ça va, rien de sorcier, mais au sein de cette démonstration il est admis que si ma fonction est continue sur un intervalle [a,b] alors il y a M et m bornes sup & inf. Mais ça mon prof a dit que c'est le "gros" de ce théorème et qu'il faut le démontrer...
Alors voila, pas facile de trouver ça sur google... J'ai vu un truc sur la compacité, enfin je connais pas du tout...)
merci
   ANT

rock & rolle

 
Si f est constante, alors f est bornee non ?

sur google, je pense pas que tu trouves ton bonheur, le mieux est d'aller pecher ca dans un bon vieux bouquin de maths ...
rhalala, ke de souvenirs ...

je pense que ct continue a la place de constante

Si f est constante, alors f est bornee non ?
 
> Ben oui mais mon prof a l'air de dire que c'est ça qu'est à démontrer  

 
De toute facon, une fonction continue n'est pas necessairement bornee. Ou alors f(x)=x est bornee sur R

Oui désolé grosse erreur de ma part, je voulais dire que je dois démontrer que ma fonction qui est continue sur l'intervalle [a,b] admet une borne sup et inf...

On fait ça en prépa, je me souviens que la démo n'était pas trop difficile, mais quant à la démo en elle-même

Un petit raisonement par l'absurde ca doit pouvoir le faire.
 
Moi je commencerais par supposer que f n'a pas de borne sup. Ca veut dir que l'on peut trouver une suite (un) dans [a,b] telle que la suite f(un) tende vers +inf
 
Apres ca, tu extrais une sous suite de (un) appelle (vn) telle que f(vn) soit strictement croissante. Tu extrais alors une autre sous suite de (vn) appelle (wn) telle que (wn) soit monotone.
 
Donc, (wn) est monotone est bornee, donc elle a une limite l dans [a,b]. Il doit etre facile de prouver que f n'est pas continue en l.

 
pareil, la prépa c loin  

Google: recherche sur "théorème de Rolle"
 
2ème ou 3ème lien
 
en espérant que c'est ce que tu cherches
 
http://www-reference.univ-enligne. [...] af/2_1.htm

Toute fonction continue sur un segment est bornée (Théorème de Heine, si je me souviens bien) => fonction bornée => cette fonction admet une borne sup et une borne inf

Théorème de Heine (1872) : toute fonction continue sur un intervalle fermé [a,b] est uniformément continue sur [a,b].
 
C'est ça qui faut utiliser ? Si c'est le cas je vois pas trop comment    
 
patbasi > non ça je l'ai depuis le début mais comme dans toutes les dem ce que je veux démontrer est admis...

Il suffit d'utiliser le fait que l'image d'un compact par une fonction continue est compacte.

Bon alors je suis pas encore parti loin dans mes études de maths et j'ai jamais entendu parlé de compact...
Est-ce que c'est abordable pour un deug 1 ? J'ai regardé un peu google, mais c'est pas facile de chercher des infos la dessus...

La compacité est au programme de math sup dont au programme de deug de math.
 
Si tu peux utiliser le théorème de Heine, c'est trivial:
f est alors uniformément continue:
qque soit e, il existe h(e) tel que pour tout (x,y), |x-y|<h(e) -> |f(x)-f(y)|<e
 
Donc si on prend e=1, on peut dire que pour tout y dans[a,b],  
f(a) - (b-a)/h(e) <= f(y) <= f(a) + (b-a)/h(e)

Si je résume :
 
- f fonction continue
- Pour tout e, il existe h(e) (pourquoi on prends h et pas f ?)
tel que pour tout (x,y) |x-y| < h(e) -> |f(x)-f(y)| < e  
 
la je comprends pas trop... tu peux m'expliquer un peu cette implication? la différence de 2 abscisses < h(e)... je ne suis pas du tout    
 
la suite plus tard quand j'aurais déjà compris ça ^
 
enfin merci déjà tu sembles savoir comment faire!
 
sinon la solution de Kristoph et des suites me parait sympa aussi mais je voit pas comment "extraire" une sous suite, un petit exemple eut était le bienvenu, mais bon je comprends l'idée au début mais sur la fin j'ai décroché !
 
Je vais vraiment me faire passer pour une m... en maths, faut m'excuser je débute !

Ah ok merci de ces 2 petites précisions, je reconnais ici la continuité, je reviens dans un chemin connu    
 
Par contre je bloque encore un peu sur la transformation de  
|x-y| < h(e) -> |f(x) - f(y)| < e
 
à f(a) - (b-a)/h(e) <= f(y) <= f(a) + (b-a)/h(e)
en posant e=1
je divise |x-y| < h(e) par h(e) ce qui me donne
|x-y|/h(e) < 1
|f(x) - f(y)| < 1
 
Je dois pas trop voir comment manipuler les valeurs absolues...

Une fonction continue sur un interval borné [a,b] possède une borne inférieure et une borne supérieure.
 
En effet, si elle ne possédait pas, par exemple, de borne inférieure, alors cette borne inférieure tendrait en fait vers -infini, et la fonction ne serait dès lors pas continue.

 
C'est de la topologie : toute fonction continue sur un compact admet et atteind ses extremums finis.

J'ai été voir mon prof et il m'a fait ça, maintenant mon boulot c'est de le comprendre pour l'expliquer à la classe :-)
 
 
Théorème:
Une fonction continue sur un intervalle fermé admet une borne sup (en un point de l'intervalle).
 
Démonstration:
 
Soit f une fonction continue sur [a;b]
Raisonnons par l'absurde:
supposons que f n'est pas majorée, alors
 
pour tout n, il existe une suite x(n) incluse dans [a,b] telle que
f( x(n) ) > n  (= f non majorée)
 
Donc nous avons une suite x(n) incluse dans [a;b]
 
Soit x(n)(m) une sous suite extraite de la suite x(n), appelée y(m)
il existe x(n)(m) = y(m)
 
D'après le théorème de Bolzano - Weierstrass, on peut extraire une sous suite d'une suite incluse sur un intervalle fermé, telle que cette sous suite converge.
 
Donc admettons que note suite y(m) converge vers y:
 
lim f( y(m) ) = f(y)
m->+inf
 
rappelons que f( y(m) ) = f( x(n)(m) ) > n(m) d'où
 
lim f( y(m) ) >= lim n(m) = +inf
m->+inf          m->+inf
 
Donc contradiction: lim = f(y) = +inf, donc f est majorée.
 
 
 
Démontrons maintenant que f atteint sa borne supérieure.
 
Soit M la borne sup de f sur [a;b], donc
 
pour tout n > 0 il existe une suite x(n) incluse dans [a;b]
M - 1/n < f( x(n) ) <= M
 
On peut extraire une sous suite y(m) de x(n) qui converge vers un point c (Bolzano)
 
y(m) tend vers c  avec c appartient à [a;b]
 
 
- du fait que f est continue
lim f( y(m) ) = f(c)  =>  f( lim y(m) ) = f(c)
m->+inf                      m->+inf
 
- nous avons vu que M - 1/n < f( x(n) ) <= M
y(m) étant une suite extraite de x(n)
M - 1/n < f( y(m) ) <= M
 
D'après le théorème des gendarmes
lim f( y(m) ) = M  (car 1/n(m) -> 0 en +inf)
m->+inf
 
 
donc f(c) = M, donc la fonction f atteint une borne sup et elle est atteinte au point d'abscisse c.
 
 
 
Je voudrais juste un éclaircissement à ce niveau:
lim f( y(m) ) >= lim n(m) = +inf
m->+inf          m->+inf
 
comment je peux expliqué que n(m) -> +inf ?
 
merci à tous de m'avoir aidé !  

Ca me rappelle quelque chose
 
http://forum.hardware.fr/forum2.ph [...] =1#t315087