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  Probabilités et fonction rationnelle

 


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Auteur Sujet :

Probabilités et fonction rationnelle

n°2531944
cocochanel​10
Posté le 26-11-2009 à 17:54:25  profilanswer
 

Bonjour
 
J'ai un devoir maison à faire, assez difficile, d'habitude je comprends très bien les probas, mais les devoirs maisons c'est souvent des choses que l'on n'a pas vu, du coup si vous pouviez m'éclairer... car je commence à mélanger beaucoup de formules.
Je suis en terminale ES
 
Voici le sujet :
 
Partie A
 
Le jeune Bob obtient des résultats moyens à l'école. Pour le motiver, sa maman lui propose le jeu suivant : à chaque fois qu'il obtient une "bonne" note, il peut tirer successivement sans remise deux billets d'un sac contenant 7 billets de 5 euros et 3 billets de 10 euros.
Si les deux billets sont de valeurs différentes, il garde ces deux billets et sa maman complète le sac pour une autre fois. Si, les deux billets sont de même valeur, il remet les billets dans le sac.
- Déterminer les probabilités des événements suivants :
 
A : "Bob tire deux billets de 5euros"
B : "Bob tire deux billets de 10 euros"
C : "Bob tire deux billets de valeurs différents"
 
J'ai trouvé :
P(A) : 7/10
P(B) : 3/10
P(C) : 7/10 * 3/10 = 21/10
Mais je pense que c'est faux...
 
Partie B
 
On conserve le principe du jeu du A
On se propose de faire gagner un peu plus d’argent à Bob en changeant juste
le nombre de billets de 10 euros dans le sac, le nombre de billets de 5 euros étant toujours égale à 7.
On suppose qu’il y a n pièces dans le sac dont toujours 7 billets de 5 euros
(n est un entier naturel supérieur ou égal à 10).
 
a. Montrer que la probabilité pn de l’évènement « Bob tire deux pièces de
valeurs différentes » est :
pn = 14(n −7)/n(n −1)
 
b. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [10 ; + ∞[ par :
f (x) = 14(x −7)/x(x −1)
.
Étudier les variations de f et en déduire les deux valeurs entières consé-
cutives de n entre lesquelles la fonction f présente son maximum. Don-
ner alors la valeur maximale de pn.
 
Voila par contre cette partie B on a jamais vu comment faire...
 
Merci de votre aide :)

mood
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Posté le 26-11-2009 à 17:54:25  profilanswer
 

n°2532013
Gato66
Posté le 26-11-2009 à 19:03:27  profilanswer
 

Ce qui est vrai déjà c'est que 7/10*3/10 n'est pas égal à 21/10


Message édité par Gato66 le 26-11-2009 à 19:04:34
n°2532022
cocochanel​10
Posté le 26-11-2009 à 19:21:31  profilanswer
 

oui 21/100 ... oups

n°2532096
Gato66
Posté le 26-11-2009 à 20:35:36  profilanswer
 

Il faut décomposer l'événement C en deux événements disjoints (incompatibles).

n°2532106
Viserion
Posté le 26-11-2009 à 20:42:44  profilanswer
 

Petit rappel quand même : A, B, et C forment un ensemble (c'est à dire que la probabilité qu'au moins un des évènements se réalise est égale à 1), donc P(A) + P(B) + P(C) = 1
 
==> 21/100 + 7/10 + 3/10 =/= 1
Donc au moins l'un des trois éléments n'a pas la bonne valeur


Message édité par Viserion le 26-11-2009 à 20:43:08
n°2532221
cocochanel​10
Posté le 26-11-2009 à 21:59:59  profilanswer
 

p(a) : 6/9 p(b) : 2/9 et p(c) : 21/100 c ca ?

n°2532269
Gato66
Posté le 26-11-2009 à 22:25:28  profilanswer
 

P(A)=7/10*6/9=7/15
P(B)=3/10*2/9=1/15
P(C)=7/10*3/9+3/10*7/9=7/30+7/30=7/15  (par disjonction des cas)
 
On pouvait aussi remarquer que A,B,C forment une partition de l'univers et que par conséquent :
 
P(A)+P(B)+P(C)=1 ce qui permet d'en déduire P(C)

n°2532294
cocochanel​10
Posté le 26-11-2009 à 22:43:16  profilanswer
 

ah oui je vois ! je ne connaissais pas cette facon de faire merci! pour n maintenant il faut que je parte de la formule donnée?

n°2532333
Gato66
Posté le 26-11-2009 à 23:17:06  profilanswer
 

Le raisonnement est identique avec n.

 

Pour la suite tu vas trouver que f possède un maximum en une valeur non entière notée a ; il suffit alors de considérer l'entier N tel que N<a<N+1 ; la valeur maximale de pn est obtenue pour n=N ou n=N+1 ; il suffit de faire le calcul de pN et de pN+1 pour trancher.


Message édité par Gato66 le 26-11-2009 à 23:27:17
n°2532950
cocochanel​10
Posté le 27-11-2009 à 18:07:06  profilanswer
 

j'ai trouvé quand je fais delta pour la partie B x1 : 13.48 environ et x2 : 0.519 mais pour le tablo j'ai du mal ainsi que pour trouver les valeurs entieres

mood
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Posté le 27-11-2009 à 18:07:06  profilanswer
 

n°2533097
gipa
Posté le 27-11-2009 à 20:13:32  profilanswer
 

cocochanel10 a écrit :

j'ai trouvé quand je fais delta pour la partie B x1 : 13.48 environ et x2 : 0.519 mais pour le tablo j'ai du mal ainsi que pour trouver les valeurs entieres


Relis l'énoncé : "b. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [10 ; + ∞[ par :f (x) = 14(x −7)/x(x −1) "  
Gato66 t'explique dans son dernier message comment trouver les valeurs entières, N<a<N+1,

Spoiler :

donc le plus grand entier inférieur à 13,48 et le plus petit entier supérieur à 13,48.

n°2533109
cocochanel​10
Posté le 27-11-2009 à 20:19:19  profilanswer
 

ah oui je vois c 13 et 14.
par contre j'ai trouvé delta : 32928 c bon?

n°2533134
gipa
Posté le 27-11-2009 à 20:42:43  profilanswer
 

cocochanel10 a écrit :

j'ai trouvé quand je fais delta pour la partie B x1 : 13.48 environ et x2 : 0.519 mais pour le tablo (tableau, c'est mieux) j'ai du mal ainsi que pour trouver les valeurs entieres


Les deux solutions que tu trouves sont justes mais seule l'une appartient au domaine de définition de la fonction et c'est celle là, seule, qui t'intéresse.

n°2533137
cocochanel​10
Posté le 27-11-2009 à 20:45:09  profilanswer
 

oui bien sur je sais j'ai fait le tableau ! mais je voulais savoir si vous étiez sur que mon delta était juste? ainsi que mes valeurs entieres?

n°2533164
Gato66
Posté le 27-11-2009 à 21:19:50  profilanswer
 

Tu devrais nous donner la dérivée.

n°2533165
cocochanel​10
Posté le 27-11-2009 à 21:21:18  profilanswer
 

ben j'ai trouvé f'(x)=-14x²+196x-98/(x²-x)²

n°2533166
gipa
Posté le 27-11-2009 à 21:21:35  profilanswer
 

cocochanel10 a écrit :

oui bien sur je sais j'ai fait le tableau ! mais je voulais savoir si vous étiez sur que mon delta était juste? ainsi que mes valeurs entieres?


Tu trouves delta = 32928, il est juste, cependant moi je trouve 42 qui est juste aussi. Pourquoi ?  
Parce que : 1) tu as complètement développé le numérateur de la dérivée, or le but est de déterminer son signe et ses zéros, donc il est plus simple de garder 14 en facteur commun
                 2) le b est pair donc au lieu de calculer b² - 4 ac, on calcule b'² - ac  avec b'=b/2

n°2533168
Gato66
Posté le 27-11-2009 à 21:27:04  profilanswer
 

Ouh la la le b' a disparu depuis des lustres !

n°2533179
gipa
Posté le 27-11-2009 à 21:33:56  profilanswer
 

cocochanel10 a écrit :

ben j'ai trouvé f'(x)=-14x²+196x-98/(x²-x)²


Ici c'est sans conséquence puisque le dénominateur est un carré donc positif, mais comme je te le disais dans mon message précédent, le but est de déterminer le signe et les zéros de la dérivée, donc quand on a la chance que cette dérivée soit un produit ou un quotient de produits, il faut se garder de développer.  
Tu trouves f'(x)=-14x²+196x-98/(x²-x)², elle est juste, cependant je trouve f'(x) = 14(-x²+14x-7)/x²(x-1)².

n°2533229
cocochanel​10
Posté le 27-11-2009 à 22:36:43  profilanswer
 

oui d'accord et pour la valeur maximale de pn?

n°2533263
gipa
Posté le 27-11-2009 à 23:11:16  profilanswer
 

cocochanel10 a écrit :

oui d'accord et pour la valeur maximale de pn?


Hé bien, tu la calcules, tout simplement.

n°2533287
Gato66
Posté le 27-11-2009 à 23:31:08  profilanswer
 

Tu compares f(13) et f(14).

n°2533543
cocochanel​10
Posté le 28-11-2009 à 12:32:05  profilanswer
 

c'est normal que dans le tableau limite lorsque x tend vers 10 c'est - l'infini et limite lorsque x tend vers + infini c'est + l'infini ?
quand j'ai calculé f(13) et f(14) je trouve le meme résultat 0.538 ! qu'est-ce que je dois en déduire pour trouver la valeur maximale de pn?

n°2533566
Gato66
Posté le 28-11-2009 à 12:58:07  profilanswer
 

Tu en conclus qu'il y a deux entiers qui réalisent le maximum ; ça n'est pas problématique.
 
Ce qui l'est plus c'est d'avoir une limite infinie pour f en 10.

n°2533625
cocochanel​10
Posté le 28-11-2009 à 13:38:40  profilanswer
 

je ne comprends pas

n°2533669
cocochanel​10
Posté le 28-11-2009 à 14:06:33  profilanswer
 

avec mes deux valeurs entieres 13 et 14 comt je peux trouver une valeur maximale de pn?

n°2533675
Gato66
Posté le 28-11-2009 à 14:15:28  profilanswer
 

Sachant que f est croissante sur [10;a] avec a environ égal à 13.48 tu en déduis que le plus grand des termes u10,u11,u12 et u13 est u13.
 
Sachant que f est décroissante sur [a;+infini[ tu en déduis que le plus grand des termes d'indices supérieurs ou égaux à 14 de la suite est u14.
 
Reste le combat final au départage entre u13 et u14 qui ira peut être jusqu'au partage du point.

n°2533678
cocochanel​10
Posté le 28-11-2009 à 14:16:45  profilanswer
 

je remplace le x de la formule par 13.48 ce qui me donne 0.539 c la valeur maximale de pn?

n°2533695
Gato66
Posté le 28-11-2009 à 14:24:08  profilanswer
 

(pn) est une suite définie par pn=f(n) ; n est entier naturel.

n°2533701
cocochanel​10
Posté le 28-11-2009 à 14:28:54  profilanswer
 

mais je ne connais pas ca, je n'ai pas fais les suites y'a pas une autre solution?

n°2533707
Gato66
Posté le 28-11-2009 à 14:31:30  profilanswer
 

Il n'y a pas besoin de connaitre les suites : connaitre la définition du sens de variation d'une fonction suffit.
 
Relis bien le message de 14:15:28

n°2533709
cocochanel​10
Posté le 28-11-2009 à 14:33:33  profilanswer
 

non jvois pas bon tant pis mci quand même

n°2533810
cocochanel​10
Posté le 28-11-2009 à 16:07:37  profilanswer
 

p(n)=f(n) ok mais n on le remplace par 13 et 14 ? comment on fait?

n°2534037
Gato66
Posté le 28-11-2009 à 19:44:01  profilanswer
 

pn = 14(n −7)/n(n −1)

n°2534046
cocochanel​10
Posté le 28-11-2009 à 19:56:36  profilanswer
 

oui je remplace n par 13 et 14 ?

n°2534047
Gato66
Posté le 28-11-2009 à 19:58:10  profilanswer
 

Dis moi le Chanel numéro 10 tu le bois ou tu te parfumes avec ?

n°2534049
cocochanel​10
Posté le 28-11-2009 à 20:01:01  profilanswer
 

vous exagérez lol !!! on me dit simplement de donner la valeur maximale de pn par rapport aux valeurs entieres que j'ai trouvé avant donc 13 et 14 moi j'en déduis que je devrais peut etre remplacé ces valeurs a la place de n?

n°2534127
Gato66
Posté le 28-11-2009 à 20:55:07  profilanswer
 

http://img6.imageshack.us/img6/976/probaed.jpg

 

u13=f(13)=(14*6)/(13*12)=14/26=7/13

 

u14=f(14)=(14*7)/(14*13)=7/13

 

Le maximum est donc obtenu pour deux valeurs de n : 13 et 14 ; ce maximum vaut 7/13


Message édité par Gato66 le 28-11-2009 à 21:12:18
n°2534284
cocochanel​10
Posté le 29-11-2009 à 09:52:33  profilanswer
 

pk ce calcul d'ou vienne les nombres 6 7 12 ..?

n°2534285
cocochanel​10
Posté le 29-11-2009 à 09:56:16  profilanswer
 

ah non c bon j'ai compris merci :)

mood
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