Bonjour à tous, j'ai un exo a faire et je ne trouve pas la réponse...
 
Il me demande tout simplement de calculer l'intégrale :
 
Int (sin(x))^4 entre 0 et pi.
 
Si quelqu'un peut me donner un coup de pouce, merci à vous!

linearise
(tu peux aussi mettre un peu d'astuce si tu connais tes formules de trigo et aller plus vite)

Je suis vraiment pas sûr de moi. Mais une primitive de sinx^4 est ** censuré **
 
Edit : Apparement c'est faux. Ah oui. effectivement.
 
sin²x = 1 - cos²x , je pense que c'est ça linéariser ?

 
ben c'est faut t'as qu'as deriver pour voir que ça marche pas: tu t'es juste melangé les pinceaux avec d'autres formules
 
edit: lineariser c'est par exemple si au lieu d'avoir un sinus a la puissance 4 on avait juste un 2 il suffirait d'ecrire: sin(x)^2=1/2(1-cos(2x))
la c'est 4 donc faut pousser un peu
 
on a simplement alors la simple primitime d'un cos(2x) a trouver

oui je veux bien savoir ce qu'est la linéarisation

 
cf juste au dessus j'ai edité

par le meme raisonnement on arrive a sin(x)^4=1/8-cos(2x)/2+cos(4x)/8 (sauf si je me suis planté dans le calcul )
et la c'est pas trop dur de trouver une primitive

Justement, tu pourrais les détailler tes calculs ?

 
ben si je fais tout spa tres utile pour toi: je vais te donner les trois formules que j'utilise et apres a toi de jouer
 
sin^2=1-cos^2
sin(x)^2=1/2(1-cos(2x))
2sin(x)cos(x)=sin(2x)
 
donc si je me suis pas planté la formule est bonne et l'integrale vaut 1/8*Pi ce qui reste coherent

Je les ai retrouvé ttes ces formules. Mais en fait, j'vois pas comment on insère le carré. Mon idée était de faire : (sin²x )² . Mais avec la linéarisation, je trouverai 1/4 .  
C'est pas moi qui ai cet exo à faire, mais ca m'intéresse

 
ben c'est ça
sin(x)^4=sin(x)^2 * (1-cos(x)^2)=sin(x)^2-[sin(x)cos(x)]^2=1/2(1-cos(2x))-[1/2(sin(2x)]^2 et on applique le truc du sinus carré au sin(2x)^2...
 
j'utilise la premiere formule(pythagore) puis je developpe et j'utile les deux dernieres formules

 
cos2x=1-2sin²x donc sin²x=1/2(1-cos2X)
 
sin^4x=1/4(1-cos2x)²=1/4(1-2cos2x+cos²2x)=1/4(1-2cosx+1/2(1+cos4x))
                                                             =1/4-1/2cosx+1/8+1/8cos4x
                                                             =3/8-cosx/2+cos4X/8
 
d'ou en intégrant int (sin^4x)=3pi/8

 
bon c'est cool ça permet de verifier que je me suis pas trompé
 
dernier conseil: par pariodicité il n'ai pas utile de calculer les deux integrales avec les cos car elles sont nulles, juste celle du 1/8 donne qualque chose

en effet

 
je me doute que tu sais je ne m'adressais pas a toi mais a l'auteur

Merci à vous tous, j'ai compris désormais !
 
votre aide m'a été précieuse

Pour linéariser on peut passer par les complexes en utilisant la formule du binôme (en prenant la partie imaginaire si c'est un sinus).

Le plus simple, c'est d'écrire sinx sous forme de somme d'exponentielle (exp(ix)+exp(-ix)/2i) , c'est plus facile à intégrer.
 
Tu peux écrire ensuite (sinx)^n= fontion de cos(nx) et sin (nx)

 
Bonjour a tous, la solution de l integral de Sin(x) ou de Cos(x) de puissance n, c est tres facil, mais en utilisant la formule de Moivre pour les deux:
 
cos(x)= ( exp(ix) + exp(-ix) )/2
 
sin(x)= ( exp(ix) - exp(-ix) )/2i
 
et tan(x)= sin(x)/cos(x)
 
avec:
i: nombre imaginaire  i^2 = -1 , i^3= -i , i^4= 1 , .....
exp: exponnentielle
 
par exemple en veux calculer (sin(x))^4
 
et bien en utilisant la formule de Moivre si-dessus:  
 
(sin(x))^4= (( exp(ix) - exp(-ix) )/2i) ^4
 
             = 1/(2i)^4 (exp(4ix) - 4exp(3ix).exp(-ix) + 6exp(2ix).exp(-2ix) - 4exp(ix).exp(-3ix) + exp(-4ix))
 
             = 1/(2i)^4 (exp(4ix) - 4exp(2ix) + 6 - 4exp(-2ix) + exp(-4ix) )
 
et comme  
             
                sin(x)= ( exp(ix) - exp(-ix) )/2i
 
ça vient
 
                 (sin(x))^4 = -1/(8i) (sin(4x)) - 1/(8) (cos(2x)) + 6/16
 
et comme ça tu pourra intergrer facilement
 
j espere que ça sera clair  
 
bon courage!!!!!!!!!!!
 
 
 

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edit : d'ailleurs c'est faux, il devrait pas y avoir de i à la fin