Bonjour, j'aurais besoin d'aide à propos de la fonction exponentielle.
 
Comment démontrer que exp'(x) = exp(x)
 
D'autre part je dois aussi démontrer :  
 
-que la limite en +infini est égale à l'infini
-que le limite en -infini est égale à 0
-et que la limite quand x tend vers 0 de [exp(x)-1]/x = 1
 
Merci d'avance

ca se démontre pas, c'est la définition (enfin l'une des définitions possibles)
pour les limites je sais pas trop, sauf la dernière, où tu peux te servir de taylor-lagrange

Tu es en quelle classe ?
 
Quelle est la définition que l'on t'a donné de l'exponentielle ?

béh ouais ce sont des définitions que t'apprends quand tu commences l'exponentielle , ca ne se démontre pas.
 

les limites en + et - l'infini ainsi que l'équivalent en 0 ca se démontre

Je sais pas je suis pas sur.
et pour ta 3eme question, la limite en 0+
ton exponentiel va tendre vers exp(1-1) soit exp(0),
soit =1 ( fonctionnement des puissances )

oui mais à l'origine tu sais pas que l'exponentielle est une fonction puissance donc exp(0)=1 c'est pas trivial
tout montrer à partir de exp'(x) = exp(x), c'est franchement pas simple

C'est clair !
Je me demande c'est pour quel niveau d'études ?

Pour la dérivée :
soit T(x) le taux d'accroissement de exp.
T(x) = (exp(x+h)-exp(x))/h
= (exp(x)*exp(h)-exp(x))/h
= exp(x)*(exp(h)-1)/h
 
exp'(x) = exp (x) exp'(0)
 
soit a = exp(0)
 
 
Passage à la limite [quand x->0] :
 
(e(x)-a)/x -> a
e(x)/x -> a(1+1/x)
e(x) -> ax+a
1-> a
 
Ainsi, a=1 (car a est une constante)
donc exp'(0)=1
donc exp'(x) = exp(x)
 

Pour les limites :
 
Soit f(x) = exp(x)-x
f'(x) = exp(x)-1 > 0 pour x>0
f'(x)<0 pour x<0
 
Ainsi
 
x        |-inf.    0      +inf.
________________________________
         |     \       /
         |      \     /
         |       \   /
         |décrois.\ /crois
exp(x)-x |         1
 
 
Ainsi, exp(x)-x > 0 pour tout x
ainsi, exp'x) > x
 
or lim x = +inf.
  x->+inf
 
donc lim exp(x) = + inf
    x->+inf
 
On a exp(-x)=1/exp((x)). Soit X=exp(x)
lim 1/X = 0
X->+inf
 
donc lim   exp(x) = 0
   x->-inf

Merci à tous.
 
beuch13 >>> je suis simplement en TES    
 

Dis donc !Méme en TS on fait pas ca

C'est effectivement plus simple de partir de la définition de exponentielle par la formule fonctionnelle exp(x+y)=exp(x)+exp(y)
 

 
j'ai une petite nuance à faire : là tu essayes de montrer que a=1, mais c'est bancal, car tu pars de e(x) -> ax+a, puis tu prends en x=0 : e(0)=a, mais ce n'est autre que la définition de a que tu retrouves.
La méthode pour montrer que e(0)=1 est :
 
exp(0)=exp(0+0)=exp(0)*exp(0) donc a=a², du coup, a=0 ou a=1. Le cas a=0 ne nous intéresse pas (fonction identiquement nulle), donc a=1
 
je suis pas satisfait non plus de la fin, où tu tires exp'(0)=0 de ton chapeau. A priori, tu as le choix de la valeur de exp'(0), mais cette valeur va fixer (je sais pas par quelle équation) la valeur de exp(1) qui vaut e par convention (mais ce pourrait être n'importe quoi)

Oui, je savais que ma démonstration boitait, mais je savais pas trop où ...
 
Bravo et Merci, sensei
 

Simple erreur de frappe j'espère  

Pour montrer que exp(0)=1,il suffisait de prendre la serie entiere de terme general (x^n)/(n!) et l'appliquer en 0  

 
Ca suppose d'utiliser la convention 0^0=1 donc ça ne résoud pas grand chose, c'est super foireux comme démonstration quand même bien qu'ultra rapide, je me demande même si c'est acceptable en concours.
Retourne les réviser tes concours au lieu de poster ici

 
résout    
 
 

 
oui c'est une erreur de frappe, sinon je serais mal

 
sauf que dans le développement en série entière, t'as besoin de savoir que exp'(0)=1, exp''(0)=1, ...
ce qu'à priori, on n'arrive pas à montrer

Heu, si je ne m'abuse la définition de l'exponantielle est justement:
 
exp(x) = \sum_{n >= 0} x^n/n!
 
et tout le reste en découle (avec plus ou moins de facilité...)
 
C'est rarement présenté comme ça mais mes souvenirs me disent que c'est comme ça.

 
Bah je ne vois pas en quoi ça pose un probleme de se sevir du fait que 0^0=1  
C'est une convention,certes,mais completement independante de la demo,donc je ne vois pas en quoi ça ne resoud rien...
Dans ce cas exp(a+b)=exp(a)*exp(b) n'est pas dans la defintion de l'exponentielle,et on doit le demontrer à l'aide des series entieres...
En clair,je pense que ta demo utilisera forcemment des conventions,mais ce qu'il faut c'est qu'elles ne dependent pas de ce que tu veux montrer.

Re bonjour à tous !
Need help    
 
Je dois démontrer que exp(a)/exp(b) = exp(a-b)
 
à l'aide de deux propriétés qui sont :
exp(0) = 1
exp(a) x exp(b) = exp(a+b)

 
c'est peut etre une des définitions possibles, mais ca doit etre chiant de retrouver toutes les propriétés de l'exponentielle à partir de sa série entière

 
au lycée en tout cas, y a que deux définitions possibles :
1. exp(x+y)=exp(x)exp(y)
2. exp'(x)=exp(x)

 
c'est pas trop dur ca
 
exp(a-b)=exp(a)exp(-b)
 
exp(b-b)=exp(0)=1=exp(b)exp(-b) donc exp(-b)=1/exp(b)
donc exp(a-b)=exp(a)/exp(b)

 
Je ne comprends pas de quoi tu déduis la dernière ligne, si tu pouvais m'expliquer , merci  

 
Vi, je te l'accorde mais c'est comme ça, il faut bien donner une définition à un moment où à un autre.
 
Enfin bon, c'était juste un parenthèse puisque le premier post vient, a priori, de quelqu'un qui n'a pas vu les SE donc la question ne se pose pas.

 
on a exp(a-b)=exp(a)exp(-b)
et exp(-b)=1/exp(b)
donc exp(a-b)=exp(a)/exp(b)
 
c'est clair ou pas ?

 
l'exponentielle peut aussi se définir par exp(x+y)=exp(x)exp(y) avec exp(1)=e (tel que ln(e)=1)
mais j'ai toujours le probleme pour montrer exp'(0)=1

 
Ah ok , le exp(-b)=1/exp(b) démontre la propriété et donc on en déduit que de façon général exp(a-b)=exp(a)/exp(b)
 
Merci beaucoup    
 
Si tu a encore un peu de temps à me consacrer, je dois ensuite démontrer avec les propréité précédentes que
 
1/exp(a) = exp(-a)
 
Et aprés l'avoir démontré et en se servant des propriétés démontrés avant puis celle ci, je dois finalement démontrer que :
 
(exp(a)^n) = exp(an)  
 
 

 
et si tu réfléchissais un peu, non?

indice : la dernière se fait par récurrence

exp(a)/exp(b) = exp(a-b)
 
Avec a=0 :
exp (0)/exp (b) = exp (0-b)
1/exp (b) = exp (-b)
 
Sinon, pour les puissances : récurence
Initialisation :
Prenons n = 0.
(exp(a))^0=1=exp(0*a)
Heredité :
Supposons la proprieté
(exp(a)^n)=exp(an) vraie au rang n.
 
(exp(a))^(n+1) = exp(a)*(exp(a)^n)
=exp(a)exp(an)
=exp(an+a)
=exp(a(n+1))

Marçi

De rien, ravi d'avoir pu aider quelqu'un