bah.....la JRE des navigateurs est une ancienne JRE (compatible jdk1.1.5, le plus souvent) donc, Swing n'est pas compris dans les classes incluses dans les navigateurs....Donc, deux solutions : installer le plugin (qu inormalement, est unclus dans les distributions du JDK, je crois), soit refaire ton interface graphique en AWT!!
Sinon, pour inclure ton jeu dans une applet, c'est vraiment tout con : il te suffit de créer une classe qui étend java.applet.Applet (ou javax.swing.JApplet si tu réussis à te dépatouiller de ton problème de plugin)
Ensuite, l'applet se comportant plus ou moins comme un conteneur, il te suffit de créer le composant graphique principal de ton jeu (un Panel ou JPanel, par exemple), puis , de positionner le layout de l'applet (méthode setLayout()), et enfin, d'ajouter ton composant à l'applet (méthode add)...
Le tout, dans la méthode init() de ta classe qui étend Applet : cette méthode est appelée par le navigateur juste après le démarrage de l'applet (au démarrage, le browser appelle la méthode start() : il n'y a pas bvesoin de constructeur dans cette classe : le navigateur appellera le constructeur par défaut..(new MaClasse()) Je pense qu'il est possible de le surcherger, mais comme j'en ai jamais eu besoin, j'ai jamais essayé)....
Lire la doc de la classe java.applet.Applet pour plus d'infos..