salut , j'ai cette exercice à faire. j'ai essayé de la faire, mais je ne suis pas sur de mes réponses. Pourriez vous m'aider S'il Vous Plait.
énoncer :
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"On considère un disque de rayon 1. On colore la moitié du disque puis à chaque étape la moitié du secteur restant."
I- La suite des aires des secteurs ajoutés.
Pour chaque entier n>1, on note Un l'aire du secteur ajouté à l'étape n.
a- Calculer U1, U2, U3
b- Expliquer pourquoi la suite (Un) n>1 est géométrique ; quelle est sa raison ? Exprimer Un en fonction de n. Quel est le sens de variation de cette suite ?
c- Lorsque n augmente, les nombres Un semblent se rapprocher d'une valeur fixée. Quelle est cette valeur ?
d- Avec la calculatrice, déterminer un entier naturel n0 tel que Un0<10^-5 Le nombre de termes de la suite se trouvant dans chacun des intervalle [0 ; 10^-5] et [10^-5 ; +infini] est-il fini ? Expliquer.
e- Démontrer qu'il y a une infinité de termes de la suite dans l'intervalle [0 ;10^-10]
II- La suite des aires des domaines colorés
Pour chaque n>1, on note An l'aire totale du domaine coloré à l'étape n, ainsi An= U1+U2+…+Un.
a- Démontrer que pour tout n>1, An = pi [1-(1/2)^n] et en déduire que An= pi - Un
b- Retrouver géométriquement cette dernière égalité.
c- Comment les nombres An se comportent-ils lorsque n prend de grandes valeurs ?
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mes réponses :
a) u1 = pi/2; u2 = pi/4 ; u3 = pi/8
b) Un+1 = Un/2
donc Un+1/Un = 1/2 donc la raison est 1/2
donc Un = pi * (1/2)^n
Un+1 - Un = pi(1/2)^n+1 - pi(1/2)^n
Un+1 - Un = pi[(1/2)^n * (1/2) - (1/2)^n)]
Un+1 - Un = pi[(1/2)^n * (1/2 -1))]
Un+1 - Un = pi[(1/2)^n * (-1/2)]
donc le produit (1/2)^n * (-1/2) < 0 donc Un+1 - Un = pi[(1/2)^n * (-1/2)] < 0
donc (Un) est décroissante !
c) Lorsque n augmente, Un semble se rapprocher de 0
d) n0 = 19 donc Un0 = pi * (1/2)^19
donc Uno < ou égale à 10^-5
La suite étant décroissante, tous les termes plus grand que 10^-5 possède un nombre fini. Donc [10^-5; +oo[ possède un nombre fini de terme.
Et [O; 10^-5] possède une infinitée de terme.
e) D'après la question d) 10^-10 < 10^-5 donc [0; 10^-5] possède une infinité de termes
II) a) je bloque ici, je n'arrive pas a démontrer ...
bon j'ai essayé de faire sa :
An = u1 + u2 +...+ Un
pi*An = pi*u1 + pi*u2 + ... + pi*un
(pi*An) - an = pi*u1 + pi*u2 + ... + pi*un - (u1 + u2 +...+ Un)
et voila je sais plus quoi faire là ...
Merci d'avance de votre aide !
